Question

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos. Dada la función f(x) = x 3 (x − 3)2 , se pide:
a) (1 punto) Hallar las asíntotas de su gráfica.
b) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012-2013 MATEMATICA II.
Ayuda por favor

Answer 1

Esta es la solución de la respuesta al ejercicio 3 de la prueba de selectividad Madrid convocatoria jun 2012 - 2013 de Matemática II:

Dada la función: $f(x) = \frac{ x^{3}}{ (x-3)^{2} }$

a) Buscamos las asíntotas

- Verticales

x = 3

$\lim_{x \to 3^{-}} \frac{ x^{3} }{ (x-3)^{2}} = \frac{27}{0} = +\infty$

$\lim_{x \to 3^{]}} \frac{ x^{3} }{ (x-3)^{2}} = \frac{27}{0} = +\infty$

- Horizontales

$\lim_{x \to -\infty} \frac{ x^{3} }{ (x-3)^{2}} = - \infty$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{ x^{3} }{ (x-3)^{2}} = + \infty$

∴ No existen asíntotas horizontales

- Oblicuas: tomando en consideración la ecuación general de la recta (y = mx + n)

$m = \lim_{n \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{n \to -\infty} \frac{ x^{2}}{x^{3} - 6x^{2} + 9x} = 1$

$n = \lim_{n \to -\infty} (f(x) - mx) = \lim_{n \to -\infty} (\frac{ x^{3}}{x^{3} - 6x^{2} + 9x} - x)$

$n = \lim_{n \to -\infty} (\frac{6x^{2} - 9x}{x^{2} - 6x^{2} + 9x}) = 6$

∴ y = x + 6

b) Para saber cuál es la ecuación de la recta tangente a f(x) para x = 2, debemos primero calcular la derivada de f(x) y evaluarla en el punto. 

$f'(x) = \frac{ x^{3} - 9 x^{2} }{ (x-3)^{3} }$

$m = f'(2) = \frac{ 2^{3} - 9 .2^{2} }{ (2-3)^{3} } = 28$

Ahora sabemos que el punto de tangencia es (2,f(2)) = (2,8).

Sustituimos la pendiente en la ecuación de la recta y el punto de tangencia para así encontrar la ecuación de la recta:

y - y₀ = m (x - x₀)
y - 8  = 28 (x - 2)
y = 28x - 48