Question

Pregunta 1.- Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcule:
a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de escape desde la superficie terrestre.
b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento.
Datos: Radio Terrestre, RT = 6,37×106 m ; Masa de la Tierra, MT = 5,97×1024 kg; Constante de Gravitación Universal, G = 6,67×10-11 N m2 kg-2. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 FISICA

Answer 1

a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de escape desde la superficie terrestre.

 

La velocidad en el momento de lanzamiento se calcula mediante un balance de energía:

 

Em = Ec + Ep

 

Dónde:

 

Em es la energía mecánica.

 

Em = -G*M*m/(r + h)

 

Ec es la energía cinética.

 

Ec = m*v^2/2

 

Ep es la energía potencial.

 

Ep = -G*M*m/r

 

Sustituyendo en la ecuación:

 

-G*M*m/(r + h) = m*v^2/2 - G*M*m/r

 

Despejando la velocidad:

 

v = √2*G*m*[1/r – (1/r + h)]

 

Sustituyendo los valores en la ecuación:

 

v = √2*(6,67*10^-11)*(5,97*10^24)*{1/(6,37*10^6) – [1/(6,37*10^6) + (599*10^3)]}

 

v = 3016,5 m/s

 

Para resolver este problema la condición es que la energía mecánica es nula.

 

Em = 0

 

Ec + Ep = 0

 

m*vd^2/2 – G*M*m/r = 0

 

vd^2/2 - G*M/r = 0

 

vd =  √2*G*M/r

 

Sustituyendo los valores:

 

vd =  √2*(6,67*10^-11)*( 5,97*10^24)/(6,37*10^6)

 

vd = 11181,38 m/s

 

La relación entre la velocidad de despegue y la velocidad de escape es:

 

v/vp = 3016,5/11181,38 = 0,27

 

b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento.

 

Se tiene que v’ = 0,9*v

 

Se aplica una conservación de energía para cuando r = Rtierra y r = R.

 

Em1 = Em2

 

Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2

 

Calculando por separado:

 

Ec1 = v^2/2 = (3016,5)^2/2 = 4549636,125 J

 

Ep1 = -G*M/Rtierra = - (6,67*10^-11)*( 5,97*10^24)/(6,37*10^6) = -62511616,95 J

 

Em1 = -57961980,83

 

Ec2 = v’^2/2 = (0,9*v)^2/2 = 0,81*(3016,5)^2/2 = 3685205,261

 

Ep = -G*M/R = - (6,67*10^-11)*( 5,97*10^24)/R = - (3,98*10^14)/R

 

Em2 = 3685205,261 - (3,98*10^14)/R

 

Sustituyendo en el balance de energía:

 

-57961980,83 = 3685205,261 - (3,98*10^14)/R

 

R = 6,46*10^6 m

 

PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 FISICA.