Question

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.

Dados los puntos A(2, 0, −2), B(3, −4, −1), C(5, 4, −3) y D(0, 1, 4), se pide:

a) (1 punto) Calcular el àrea del triàngulo de vèrtices A, B y C.

b) (1 punto) Calcular el volumen del tetraedro ABCD.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Ayuda por favor

Answer 1

Esta es la solución al ejercicio 3 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid, convocatorio Jun 2013 - 2014 de Matemáticas II

Nos dan como datos iniciales los siguientes puntos:

A(2,0,-2)    B(3,-4,-1)      C(5,4,-3)       D(0,1,4)

a) Debemos calcular el área de un triángulo generado por los puntos A, B y C:

Área = $\frac{base.altura}{2}$
 →
A.B = (3-1,-4-0,-1-(-2)) = (2,-4,1)
 →
A.C = (5-2,4-0,-3-(-2)) = (3,4,-1)

Para calcular el área usamos la relación expresada anteriormente y el producto cruz:

S = $\frac{1}{2} = | \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-4&1\\3&4&-1\end{array}\right] ] | = \frac{1}{2} |(0,4,16)| = \frac{1}{2} \sqrt{ 0^{2} + 4^{2} + 16^{2} } = 2 \sqrt{17}$ ≈ 8,25 $u^{2$

b) Debemos calcular el volumen de un tetraedro formando por ABCD:
 →
A.D = (0-2,1-0,4-(-2)) = (-2,1,6)

El volumen se calcula de la siguiente forma: $V = \frac{1}{6} \left[\begin{array}{ccc}xa&xb&xc\\ya&yb&yc\\za&zb&zc\end{array}\right]$

V =  $\frac{1}{6} \left[\begin{array}{ccc}1&-4&1\\3&4&-1\\-2&1&6\end{array}\right]$ = $\frac{50}{3} u^{3}$