Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dadas las matrices:
A = 1 a a
1 a 1
a − 1 a 2


x
X= y
z

0
O = 0
0

se pide:
a) (1 punto) Determinar el valor o valores de a para los cuales no existe la matriz inversa A^−1
.
b) (1 punto) Para a = −2, hallar la matriz inversa A^−1
.
c) (1 punto) Para a = 1, calcular todas las soluciones del sistema lineal AX = O.

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Gracias de antemano

Respuestas

Respuesta dada por: alexandria26
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Estas son las respuestas al ejercicio 2 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II:

Dadas las matrices:

A =
\left[\begin{array}{ccc}1&a&a\\1&a&1\\a-1&a&2\end{array}\right]

X =
\left[\begin{array}{c}x&y&z\\\end{array}\right]

O =
\left[\begin{array}{c}0&0&0\\\end{array}\right]

a) Para calcular cuales son los valores de a para que la matriz A NO sea invertible, usamos el determinante:

det(A)-a( a^{2} - 3a + 2 ) =
0

a = 0   ó     a = 1 a = 2

Si a
= 0  ó  a = 1 ó a = 2    det(A) = 0 
⇒ A no es invertible.

Si a≠0  y a≠1 y a≠2    det(A) ≠ 0  A es invertible

b) Calculamos la matriz inversa para el caso a = -2, usando el método de Gaus - Jordan


A = \left[\begin{array}{ccc}1&-2&2\\1&-2&1\\-3&-2&2\end{array}\right]

A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}
\frac{-1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{-1}{4} \\ \frac{x}{y} \frac{-5}{24}
& \frac{-1}{6}& \frac{-1}{8}\\ \frac{-1}{3}&
\frac{1}{3}&0\end{array}\right]

c) Para el caso a = 1 calculamos la solución para el sistema lineal AX = 0. 

A.X =
\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\\0&1&2\end{array}\right]
. \left[\begin{array}{c}x&y&z\\\end{array}\right] = \left \{ {{x+y+z=0}
\atop {y + 2z=0}}

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