Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la función
f(x) = 1/(x + 1) + x/(x + 4)

se pide:
a) (1 punto) Determinar el dominio de f y sus asíntotas.
b) (1 punto) Calcular f′(x) y determinar los extremos relativos de f(x).
c) (1 punto) Calcular ∫f(x) dx de 0 a 1

Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2013-2014. Matemáticas II. Por favor

Answer 1

Estas son las respuesta al ejercicio 1 de la prueba de selectividad para la comunidad de Madrid convocatoria Jun 2013 - 2014 de Matemáticas II:

Nos indican la siguiente función:

$f(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4}$

Expandimos la función:

$f(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4} = \frac{x+4+x(x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{ x^{2} +2x+4}{(x+1)(x+4)}$

a) Para determinar el dominio de la función f(x), observamos cuales son los posibles puntos de discontinuidad, en este caso x = -1 y x = -4.

Dom(f) = R - {-1,-4}

Ahora para las asíntotas: 

- Verticales:

x = -1: 

$\lim_{x \to -1^{-} } f(x) = \frac{3}{0} = -\infty$

$\lim_{x \to -1^{+} } f(x) = \frac{3}{0} = +\infty$

x = -4: 

$\lim_{x \to -4^{-} } f(x) = \frac{12}{0} = +\infty$

$\lim_{x \to -4^{+} } f(x) = \frac{3}{0} = -\infty$

- Horizontales

y = 1:

$\lim_{x \to \infty} \frac{ x^{2} +2x+4}{(x+1)(x+4)} = 1$

- Oblicuas: no existen porque ya tiene asíntotas horizontales. 

b) Calculamos la derivada de la función f(x), usando la regla para la derivada de un cociente ($f(x) = \frac{u}{v}$  $f'(x) = \frac{u'v - u.v'}{ v^{2} }$ )

$f'(x) = \frac{3( x^{2} -4)}{ (x+1)^{2} (x+4)^{2} }$

f'(x) = +/- 2

Analizamos los extremos relativos de f(x)
   
                (₋∞, -2)               (-2,2)             (2,+∞)
  f'(x)            +                       -                      +
  f (x)      creciente ↑       decreciente ↓    creciente ↑

Podemos afirmar que la f(x)  tiene un punto máximo en (-2,2) y un punto mínimo (2,2/3)

c) Calculamos la integral definida, usando el método de fracciones parciales:


$\int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4} } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{1}{x+1} + 1 - \frac{4}{x+4} } \, dx = x + ln|x+1| - 4ln|x+4|$ |¹₀ 

= $1 + 9.ln|2| - 4.|n|5| = 1 - ln( \frac{625}{512})$ ≈ 0,8