Question

Ejercicio 1 . Calificación máxima: 3 puntos. Dada las matrices: A = ( α β γ γ 0 α 1 β γ ), X = (x y z ), B = ( 1 0 1 ) , O = ( 0 0 0 ) , se pide: a) (1,5 puntos) Calcula α, β, γ para que (1 2 3 ) Sea solución del sistema AX = B. b) (1 punto) Si β = γ = 1 ¿Qué condición o condiciones debe cumplir α para que el sistema lineal homogéneo AX = O sea compatible determinado? c) (0,5 puntos) Si α = −1, β = 1 y γ = 0, resuelve el sistema AX = B. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2013-2014 MATEMATICAS II

Answer 1

a) Calcula α, β, γ para que (1 2 3 ) Sea solución del sistema AX = B.

 

Como la matriz columna es una solución de AX = B, se tiene que la ecuación en forma matricial es:

 

(α β γ)   (1)     (1)

(γ 0 α) * (2) =  (0)

(1 β γ)   (3)     (1)

 

Se desarrolla el producto matricial y queda que:

 

(α + 2β + 3γ)    (1)

(γ +  0  + 3α) = (0)

(1 + 2β + 3γ)    (1)

 

Igualando cada elemento de las matrices se forma el siguiente sistema de ecuaciones:

 

α + 2β + 3γ = 1

 

γ + 3α = 0

 

1 + 2β + 3γ = 1

 

Se despeja γ de la segunda ecuación y se sustituye en la primera y la tercera:

 

γ = -3α

 

Sustituyendo:

 

α + 2β + 3(-3α) = 1

 

1 + 2β + 3(-3α) = 1

 

Se restan las ecuaciones obtenidas:

 

α + 2β – 1 - 2β = 0

 

α = 1

 

β = 9/2

 

γ = -3

b) Si β = γ = 1 ¿Qué condición o condiciones debe cumplir α para que el sistema lineal homogéneo AX = O sea compatible determinado?

 

La expresión matricial queda de la siguiente manera:

 

(α 1 1)   (x)     (0)

(1 0 α) * (y) =  (0)

(1 1 1)   (z)     (0)

 

Para que el sistema sea compatible se tiene que calcular el Det(A).

 

Det(A) = (α)(-α) – (1)(1 – α) + (1)(1) = -α^2 – 1 + α + 1

 

Det(a) = -α (α – 1)

 

α1 = 0

 

α2 = 1

 

Con estos valores se puede concluir que para cualquier valor distinto de α1 y α2, el Det(A) ≠ 0, por lo tanto el sistema es compatible determinador ya que la única solución es la trivial.

 

c) Si α = −1, β = 1 y γ = 0, resuelve el sistema AX = B.

 

(-1 1 0)   (x)     (1)

(0 0 -1) * (y) =  (0)

(1 1  0)   (z)     (1)

 

Realizando el producto matricial:

 

(-x + y)    (1)

(   –z  ) = (0)

(x +  y)    (1)

 

Igualando los elementos de las matrices se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

 

- x + y = 1

 

-z = 0

 

x + y = 1

 

De la segunda ecuación se tiene que z = 0 y sumando las ecuaciones 1 y 3 se tiene que:

 

x – x + y + y = 1 + 1

 

2y = 2

 

y = 1

 

x = 0

 

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