Situación 1
Fabian que vive en el distrito de Villa Rica, para generar ingresos para su familia, ha decidido realizar un huerto de hortalizas en la parte posterior a su casa que tiene espacio. Para ello gestionó y logró tener 32 metros de malla metálica para cercar su huerto más grande, previniendo el ingreso de animales de los vecinos, al construir el cerco de forma rectangular; se quiere aprovechar la pared posterior de su casa.
¿Cuáles serán las dimensiones del huerto a construir de manera que tenga el mayor área posible?
Respuestas
Segun el enunciado, Fabian quiere construir un huerto de forma rectangular en la parte posterior de su casa y cuenta con 38 metros de malla metálica.
Entonces Fabian va a construir solamente 3 lados con la malla metálica ya que el va aprovechar la parte posterior de su casa, seria un lado menos del rectángulo.
Denominamos a las medidas del rectángulo con variables.
- Ancho x
- Largo y
Revisa la imagen adjunta, ahi esta la representación del huerto.
Podemos plantear una ecuación con las medidas del huerto para la longitud de la malla metálica.
2x + y = 38
La suma de dos anchos (2x) y un largo (y) es 38 metros.
El area del huerto seria le producto de la multiplicación entre el ancho y largo.
A = x.y (El punto representa una multiplicación.)
Despejamos y en la ecuación de la longitud de la malla metálica para sustituir en la expresión del área del huerto.
2x + y = 38
y = 38 - 2x
Sustituimos.
A = x.y
A = x(38-2x)
Aplicas propiedad distributiva, x multiplica a todos los terminos dentro del paréntesis.
A = 38x - 2x²
Obtuvimos una función cuadrática que consta de 2 términos, una variable x, con un término elevado a la segunda potencia.
Hallamos el vértice de la parábola (El cual es su maximo valor) usando la ecuacion estandar x = -b/2a
La forma general de una función cuadrática es:
f(x) = ax² + bx + c
En la función que obtuvimos A = 38x - 2x² donde:
- a = -2
- b = 38
Sustituimos en la ecuación x = -b/2a para hallar el vértice de la parábola.
x = -b/2a
x= -38/2(-2)
x= -38/-4
x = 9,5
Ahora que sabemos el valor de x que es el ancho, sustituimos en la ecuación de la longitud de la malla metálica para hallar el valor de y que es el largo.
2x + y = 38
Despejamos y.
y = 38 - 2x
Sustituimos.
y = 38 - 2(9,5)
y = 38 - 19
y = 19
Hallamos el área maxima:
A = 38x - 2x²
A = 38(9,5) - 2(9,5)²
A = 361 - 2(90,25)
A = 361 - 180,5
A = 180,5
El area máxima es 180,5 m².
Podemos concluir que las dimensiones del huerto que delimiten el área máxima son:
- Ancho = 9,5 metros.
- Largo = 19 metros.
Saludos.
