Question

Resuelva los ejercicios de aplicación de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

1. Un tanque contiene 200 L de salmuera con 10 kg de sal. Ahora entra agua pura al tanque a razón de 5/Lmin, y la mezcla bien agitada sale de éste a la misma velocidad. Determine la cantidad de la sal en el tanque después de 30 min. ¿Cuánto tardará la cantidad de sal en el tanque para ser 1 kg?​

Answer 1

Aplicando resolución de ecuaciones diferenciales, la cantidad de sal al cabo de 30 minutos es de 4,72kg, y esta se reduce a 1kg al cabo de 1 hora con 32,1 minutos.

Explicación paso a paso:

Como entran 5 litros de agua a cada minuto y al mismo tiempo salen 5 litros de salmuera por minuto, tenemos una concentración de sal en el tanque, donde m es la masa de sal:

$C=\frac{m}{V}=\frac{m}{200L}$

La masa de sal que sale del tanque por minuto, al ser la mezcla homogénea es:

$\Delta m=-5L.C.\Delta t\\\\\Delta m=5L.\frac{m}{200L}.\Delta t\\\\\frac{dm}{dt}=-0,025m$

Con lo cual resolvemos esa ecuación diferencial aplicando separación de variables:

$\frac{dm}{m}=-0,025dt\\\\\int\limits^{}_{} {\frac{dm}{m}} = \int\limits^{}_{} {-0,025dt} \\\\ln(m)=-0,025t+C_1\\\\m=C.e^{-0,025t}$

Donde el tiempo t está en minutos, como la masa inicial en el tanque es de 10kg, la ecuación es:

$m=10kg.e^{-0,025t}$

Entonces, al cabo de 30 minutos la masa de sal en el tanque es:

$m=10kg.e^{-0,025.30min}=4,72kg$

Y el tiempo hasta que queda 1kg de sal en el tanque es:

$e^{-0,025t}=\frac{m}{10kg}\\\\-0,025t=ln(\frac{m}{10kg})\\\\t=\frac{ln(\frac{m}{10kg})}{-0,025}\\\\t=92,1min=1h32,1'$