Question

Un disco hueco uniforme tiene dos trozos de alambre delgado ligero que se enrollan alrededor de su borde exterior y están sujetos al techo. De repente, se rompe uno de los alambres, y el alambre que queda no se desliza conforme el disco rueda hacia abajo. Calcule la rapidez del centro de este disco, después de que haya caído una distancia de 1.20 m
radio interno 30cm
radio externo 50cm

Answer 1

Cuando se corta uno de los alambres y el disco rueda por el otro alambre, luego de caer dos metros alcanza una velocidad equivalente a:

v=\frac{6,86}{\sqrt{(3-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})}}

Se necesita conocer la relación entre el radio interior y radio exterior del disco hueco para calcular numéricamente la velocidad.

Explicación:

El disco hueco inicia como muestra la figura adjunta. Al cortarse uno de los alambres que lo sostiene y caer rodando por el otro alambre, el disco empieza a transformar su energía potencial en energía cinética, parte de ella en forma de energía cinética traslacional y parte en forma de energía rotacional. Por lo que queda:

Mgz=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}Iw^2

Vamos a hallar el momento de inercia del disco hueco llamando Rint a su radio interno y Rext a su radio exterior.

I=\int\limits^{}_{S} {r^2} \, dm

Donde el elemento diferencial de masa puede ser un anillo concéntrico al centro de masas de radios interno r y externo r+dr;

dm=\delta_s.dA=\delta_s.\pi((r+dr)^2-r^2)\\\\dm=\delta_s.\pi(r^2+2rdr+dr^2-r^2)=\delta_s.\pi(2rdr+dr^2)\\\\dr^2<<rdr=dm=2\delta_s.\pi rdr

Si ahora lo reemplazamos en la integral queda:

I=\delta_s\int\limits^{R_{ext}}_{R_{int}} {2\pi r^3} \, dr=2\pi\delta_s[\frac{r^4}{4}]^{R_{ext}}_{R_{int}}\\\\I=\pi\delta_s\frac{R_{ext}^4-R_{int}^4}{2}\\\\I=\pi\delta_s\frac{(R_{ext}^2-R_{int}^2)(R_{ext}^2+R_{int}^2)}{2}=\frac{1}{2}M(R_{ext}^2+R_{int}^2)

Ahora como el disco rota sobre su centro de masas tenemos:

w=\frac{v}{R_{ext}}

Estas expresiones las reemplazamos en la ecuación de energía:

Mgz=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}\frac{1}{2}M(R_{ext}^2-R_{int}^2).\frac{v^2}{R_{ext}^2}\\\\gz=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{4}v^2(1-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})\\\\gz=v^2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{R_{int}^2}{4R_{ext}^2})=v^2(\frac{3}{4}-\frac{R_{int}^2}{4R_{ext}^2})

Si de aquí despejamos la velocidad queda:

v=\sqrt{\frac{4gz}{(3-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})}}

Reemplazando valores queda:

g=9,8\frac{m}{s^2}\\z=1,2m\\\\v=\sqrt{\frac{4.9,8.1,2}{(3-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})}}=\frac{6,86}{\sqrt{(3-\frac{R_{int}^2}{R_{ext}^2})}}