Question

Problema de optimización:
Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en 2 partes, una se dobla para formar un cuadrado y la otra para formar un círculo.
¿Cómo debe cortarse el alambre para que el área total sea máxima? (Área total es la suma de las áreas del cuadrado y círculo)

Answer 1

$\textcircled{1}~~~\texttt{Sea }x\texttt{ la medida de uno de los alambres y }10-x\texttt{ la otra}\\ \\ \texttt{Entonces: }A(x)=\dfrac{x^2}{4\pi}+(10-x)^2\\ \\ \\ \textcircled{2}~~~\text{Criterio de la primera derivada}\\ \\ A'(x)=\dfrac{x}{2\pi}-20+2x=0\\ \\ \\ x=\dfrac{40\pi}{4\pi+1}\\ \\ \\ \textcircled{3}~~~\text{Criterio de la segunda derivada}\\ \\ A''(x)=\dfrac{1}{2\pi}+2\ \textgreater \ 0\to \texttt{Se abre hacia arriba}\\ \\ \texttt{Entonces }x=\dfrac{40\pi}{4\pi+1}\texttt{ es un m\'inimo. Por ello un m\'aximo}$

$\texttt{se encuentra en uno de los extremos }x=0\texttt{ o en }x=10\\ \\ \\ A(0)=100\text{ m}^2\\ \\ A(10)=\dfrac{25}{\pi}\text{ m}^2\\ \\ \\ \texttt{Es decir que no se necesita hacer el c\'irculo para obtener}\\ \texttt{\'area m\'axima.}$