Question

Verifique en cada caso si se trata de un Subespacio Vectorial:

Answer 1

Condiciones necesarias y suficientes para determinar un subespacio vectorial:

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W ⊆ V), se dice que W es un subespacio vectorial de V si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. El elemento nulo del espacio V está contenido en el subespacio W. (0V ∈ W)
2. Si u,v ∈ W, entonces u + v  ∈ W
3. Si u ∈ W y k es un escalar, entonces ku∈ W

a) Para que H sea un subespacio vectorial ES NECESARIO que incluya el elemento nulo (0,0,0) de R³. Comprobemos si esto ocurre:

x + 3y + z = 1

0 + 3·0 + 0 = 1

0 ≠ 1

Como observamos el vector nulo de R³ no pertenece a H, por lo que H NO ES UN SUBESPACIO VECTORIAL.

b)

✅ Haciendo a = 0 y b = 0 podemos verificar que M contiene al elemento nulo de las matrices cuadradas de orden 2.

✅ Si sumamos dos elementos del subespacio da como resultado otro elemento del subespacio:

$\begin{pmatrix}a&3a\\ 2b&b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c&3c\\ 2d&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c&3(a+c)\\ 2(b+d)&b+d\end{pmatrix}\in M$

✅ Si hacemos el producto de un escalar por un vector del espacio obtenemos otro vector que pertenece al espacio:

$k\begin{pmatrix}a&3a\\ 2b&b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ka& \:3ka\\ 2kb&kb\end{pmatrix}\in M$

Concluimos entonces que M ES UN SUBESPACIO VECTORIAL.