Question

1. Exprese en coordenadas polares las siguiente curva y punto:
a. 3x + 5y = 1
b. x2 + y2 = 2x
c. (1;-2)

Answer 1

El sistema de coordenadas polares ubica los puntos en el plano en base a un par ordenado (r, θ), siendo  r  la longitud del radio vector que une el punto con el punto base, llamado polo, y   θ  es el ángulo que forma el radio vector con el llamado eje polar.

Explicación paso a paso:

El sistema de coordenadas polares se relaciona con el sistema de coordenadas rectangulares ubicando el polo en el origen del sistema  xy     y tomando el brazo positivo del eje de las x como el eje polar.

Para pasar de un sistema a otro se usan las expresiones:

$\bold{x~=~r\cdot Cos(\theta)\qquad\qquad\qquad y~=~r\cdot Sen(\theta)}$

$\bold{r~=~\sqrt{x^2~+~y^2}\qquad\qquad\qquad\theta~=~ArcTg(\dfrac{y}{x})}$

Con esta información vamos a expresar en coordenadas polares las siguientes curvas y punto:

a.        3x  +  5y  =  1

$\bold{3x~+~5y~=~1\qquad\Rightarrow\qquad ~3[r\cdot Cos(\theta)]~+~5[r\cdot Sen(\theta)]~=~1\qquad\Rightarrow}$

$\bold{r[3\cdot Cos(\theta)~+~5\cdot Sen(\theta)]~=~1\qquad\Rightarrow\qquad ~r~=~\dfrac{1}{[3\cdot Cos(\theta)~+~5\cdot Sen(\theta)]}\qquad\Rightarrow}}$

b.         x²  +  y²  =  2x

$\bold{x^2~+~y^2~=~2x\qquad\Rightarrow\qquad r~=~2\cdot r\cdot Cos(\theta)\qquad\Rightarrow\qquad 1~=~r\cdot Cos(\theta)}$

c.     (1; -2)

$\bold{r~=~\sqrt{(1)^2~+~(-2)^2}~=~\sqrt{5}\qquad\qquad\qquad\theta~=~ArcTg(\dfrac{-2}{1})~\approx~1,65\pi ~rad}$

$\bold{Coord.~rectangulares:~~(1; ~-2)~=~(\sqrt{5};~1,65\pi)~~Coord.~polares}$