Question

Situación 1
Fabian vive en el distrito de Villa Rica, para generar ingresos para su familia, ha decidido realizar un huerto de hortalizas en la parte posterior a su casa que tiene espacio. Para ello cuenta con 40 metros de malla metálica para cercar el huerto  previniendo el ingreso de animales de los vecinos, al construir el cerco de forma rectangular; se quiere aprovechar la pared posterior de su casa.

¿Cuáles serán las dimensiones del huerto a construir de manera que tenga el mayor área posible? ​

Answer 1

Segun el enunciado, Fabian quiere construir un huerto de forma rectangular en la parte posterior de su casa y cuenta con 40 metros de malla metálica.

Entonces Fabian va a construir solamente 3 lados con la malla metálica ya que el va aprovechar la parte posterior de su casa, seria un lado menos del rectángulo.

Denominamos a las medidas del rectángulo con variables.

• Ancho x  
• Largo y  

Revisa la imagen adjunta, ahi esta la representación del huerto.

Podemos plantear una ecuación con las medidas del huerto para la longitud de la malla metálica.

• 2x + y = 40

La suma de dos anchos (2x) y un largo (y) es 40 metros.

El area del huerto seria le producto de la multiplicación entre el ancho y largo.

A = x.y (El punto representa una multiplicación.)

Despejamos y en la ecuación de la longitud de la malla metálica para sustituir en la expresión del área del huerto.

2x + y = 40

y = 40 - 2x

Sustituimos.

A = x.y

A = x(40-2x) 

Aplicas propiedad distributiva, x multiplica a todos los terminos dentro del paréntesis.

A = 40x - 2x²

Obtuvimos una función cuadrática que consta de 2 términos, una variable x, con un término elevado a la segunda potencia.

Hallamos el vértice de la parábola (El cual es su maximo valor) usando la ecuacion estandar x = -b/2a

La forma general de una función cuadrática es:

f(x) = ax² + bx + c

En la función que obtuvimos A = 40x - 2x² donde:

• a = -2
• a = -2 b = 40

Sustituimos en la ecuación x = -b/2a para hallar el vértice de la parábola.

x = -b/2a

x= -40/2(-2)

x= -40/-4

x = 10

Ahora que sabemos el valor de x que es el ancho, sustituimos en la ecuación de la longitud de la malla metálica para hallar el valor de y que es el largo.

2x + y = 40

Despejamos y.

y = 40 - 2x

Sustituimos.

y = 40 - 2(10)

y = 40 - 20

y = 20

Hallamos el área maxima:

• A = 40x - 2x²
• A = 40(10) - 2(10)²
• A = 400 - 2(100)
• A = 400 - 200
• A = 200

El area máxima es 200 m².

Podemos concluir que las dimensiones del corral que delimiten el área máxima son:

• Ancho = 10 metros.
• Largo = 20 metros.

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Saludos.