. ¿Cuánto más es el periodo de un péndulo que cambia su longitud de 30 cm a 2,5 metros en la gravedad de júpiter? (24,79 m / s²)
Respuestas
Respuesta:
Se basa en la fórmula que relaciona el periodo, T, del movimiento oscilatorio
efectuado por un péndulo simple (para pequeñas oscilaciones y en ausencia de
rozamiento) y su longitud, L, con la aceleración de la gravedad:
T = 2 L/g (1)
El péndulo simple se compone de una masa que se pueda considerar puntual, M,
suspendida de un hilo de masa despreciable y longitud L, que gira libremente alrededor
de su extremo superior. Para obtener la frecuencia de oscilación del péndulo
aplicaremos el principio de conservación de la energía. Siguiendo la notación de la
figura, la desviación se mide por el ángulo que forma el hilo con la vertical. Cuando el
hilo se desvía dicho ángulo, la masa se eleva una altura h:
h = L - L cos (2)
Laboratorio de Física, Grado en Ingeniería Química, UCM Curso 2015/2016
5-2 20/10/2015
Por otra parte la trayectoria del péndulo es un arco de circunferencia de radio L, por lo
que su velocidad es:
v = L (d / dt) (3)
Aplicando la conservación de la energía, la suma de la energía cinética y de la potencial
debe ser constante en todo punto de la trayectoria:
E = 1 / 2 M v + Mgh 2 (4)
Sustituyendo h y v por sus expresiones se llega a:
E = 1 / 2 ML ( d / dt) + MgL (1 - cos ) 2 2 (5)
Derivando la ecuación anterior con respecto a t el primer miembro se anula.
Simplificando se obtiene la ecuación del movimiento :
d / dt + (g / L) sen = 0 2 2 (6)
Para ángulos pequeños ( 10º) el seno puede sustituirse por el ángulo en radianes y se
llega a una ecuación cuya solución es la de un movimiento armónico simple de
frecuencia angular y periodo T:
d dt g L 2 2 / (/) 0 (7)
max sen ( t + ) (8)
= g/ L , T = 2 / = 2 L / g (10)
NOTA: Del desarrollo de sen = - 3
/ 6 +…., se deduce que para ángulos grandes
empiezan a tener importancia los siguientes términos y la ecuación (6) hasta el segundo
término se convierte en:
d dt g L g / 6L) 22 3 / (/) ( 0 (11)
que es la ecuación de un oscilador anarmónico de grado 3. La solución de este tipo de
ecuaciones viene dada por la superposición de una oscilación de frecuencia
(frecuencia fundamental) y otras de menor amplitud, de frecuencia múltiplo de la
fundamental, que se llaman sus armónicos. En el caso de la ecuación (10) aparece
principalmente el tercer armónico y no el segundo que aparecería en el caso de una
ecuación que incluyera un término en 2
. La solución de la ecuación (6) es siempre
aproximada y se resuelve no teniendo en cuenta los términos considerados en cada caso
“pequeños”. Una solución aproximada de este tipo de ecuación diferencial se denomina
solución de perturbación porque al añadir un término “pequeño” a la ecuación
diferencial perturba el movimiento que se tendría sin él. Encontraremos muchos
ejemplos de esto a lo largo de la física.
Explicación: