Ud. se encuentra en el laboratorio de masas y medidas, le llegan cuatro objetos para posteriores análisis, su coordinador de laboratorio le asigna la prueba de densidades. Los objetos presentan los siguientes atributos anexados en la tabla.
Objeto Dimensiones (cm) Masa (g)
Esfera Radio=0,5 24
Cubo Lado=4 12
Cilindro Radio= 1 altura=2 10
¿Por qué podemos decir que los objetos no son del mismo material? Demuestre matemáticamente.
¡POR FAVOR ES ALGO URGENTE! (doy corona).
Respuestas
Respuesta:
Movimiento de una esfera en un fluido viscoso. Fórmula de Stokes
En esta página, se describe el movimiento vertical de una esfera de masa m y de radio R, en el seno de un fluido viscoso, en régimen laminar.
Descripción
La esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo está completamente sumergido en el seno de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene en régimen laminar).
El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad g. La masa es el producto de la densidad del material ρe por el volumen de la esfera de radio R.
mg=ρe 43π R3g
De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido ρf, por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la gravedad.
E=ρf 43π R3g
Din_3.gif (1985 bytes)La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su expresión se denomina ley de Stokes
Fr=6πRηv
donde η es la viscosidad del fluido.
La ecuación del movimiento será, por tanto,
ma=mg-E-Fr
La velocidad límite, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.
mg-E=Fr
Despejamos la velocidad límite vl
vl=2g(ρe−ρf)R29η
La ecuación del movimiento es
mdvdt=F−kv
donde F es la diferencia entre el peso y el empuje F=mg-E, y k=6πRη
Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad de la esfera en función del tiempo.
∫0vdvFm−kmv=∫0tdt
Obtenemos
v=vl(1−exp(−ktm)) vl=Fk
Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad límite vl después de un tiempo teóricamente infinito. Si representamos v en función del tiempo t la gráfica tienen una asíntota horizontal en v=vl.
Integramos la expresión de la velocidad en función del tiempo para obtener la posición x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que la esfera parte del origen x=0, en el instante inicial t=0.
[Math Processing Error]
Dado que la exponencial tiende a cero rápidamente a medida que transcurre el tiempo, vemos que al cabo de un cierto tiempo, el desplazamiento x del móvil será proporcional al tiempo t.
Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en caída libre y cuando cae en el seno de un fluido viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro