Question

hola me gustaría que me ayuden en este problema de multiplos
karina tiene cierta cantidad de caramelos si los agrupa de 5 en 5 le sobrarían 3 , si los agrupa de 7 en 7 le sobrarían 5 pero, si los agrupa de 6 en 6 le faltarían 2 halle cuantos caramelos tiene karina si es menor que 300

Answer 1

Respuesta: Karina tiene 208 caramelos.

Explicación paso a paso:

Vamos a llamar N al número de caramelos que tiene Karina.

Vamos a indicar con el exponente ᶬ que un número es múltiplo de la base.

Nos dicen que si agrupa los caramelos de 5 en 5 le sobrarían 3

Esto se puede expresar como N = 5ᶬ + 3

Nos dicen que si agrupa los caramelos de 7 en 7 le sobrarían 5

Esto se puede expresar como N = 7ᶬ + 5

Nos dicen que si agrupa los caramelos de 6 en 6 le faltarían 2

Esto se puede expresar como N = 6ᶬ - 2

Hay una propiedad de los múltiplos que dice que si un número es múltiplo de dos o más números, entonces es múltiplo del mínimo común múltiplo de esos números.

Tenemos que N = 5ᶬ + 3  

esto es igual que decir que le falta 2 para ser múltiplo exacto de 5

entonces N = 5ᶬ - 2

Tenemos que N = 7ᶬ + 5

esto es igual que decir que le falta 2 para ser múltiplo exacto de 7

entonces N = 7ᶬ - 2

Resumiendo, tenemos

N = 5ᶬ - 2

N = 7ᶬ - 2

N = 6ᶬ - 2

Como el número buscado es múltiplo de 5, 7 y 6, menos 2 unidades, entonces será múltiplo del mínimo común múltiplo de estos números, menos 2 unidades:

N = [M.C.M.(5,7,6)]ᶬ - 2

factorizamos estos números

5 = 5

7 = 7

6 = 2×3

El mínimo común múltiplo de estos números es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:

El mínimo común múltiplo de 5,7,6 = 5×7×2×3 = 210

N = 210ᶬ - 2 => el número de caramelos será múltiplo de 210 - 2 unidades

Los números de caramelos que cumplen las condiciones son de la manera:

N = n×210 -2 siendo n∈ℕ

N₁ = 1×210 - 2 = 208 caramelos, como el enunciado dice que el número buscado es menor que 300 caramelos, esta es la única solución.

Respuestas: Karina tiene 208 caramelos.

Verificación

N₁ = 208 caramelos de 5 en 5 sobran → 208(mod 5) = 3, sobran 3

[208/5 = 41,... ], [41×5 = 205] , [208-205 = 3]

N₁ = 208 caramelos de 7 en 7 sobran → 208(mod 7) = 5, sobran 5

[208/7 = 29,... ], [29×7 = 203] , [208-203 = 5]

N₁ = 208 caramelos de 6 en 6 sobran → 208(mod 6) = 4 - 6 = -2, faltan 2

[208/6 = 34,... ], [34×6 = 204] , [208-204 = 4]

Queda comprobado que este número cumple las condiciones.

$\textit{\textbf{Michael Spymore}}$