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Explicación paso a paso:
sisiisi te explico
En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de ciertos conjuntos,[1][2] como también en operaciones elementales de cálculo. Son aquellos números naturales los que sirven para contar elementos por lo que son naturales por ejemplo: 6,7,8,9… Por definición convencional se dirá que cualquier elemento del siguiente conjunto, ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, es un número natural.[2] En obras más modernas, aparece también como ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}.[3] De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo,[4] por lo que el conjunto de los números naturales es ordenado e infinito.
Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).
El conjunto de todos los números naturales iguales o menores que cierto número natural {\displaystyle k}k , es decir, el conjunto {\displaystyle \{1,2,\dots ,k-1,k\}}{\displaystyle \{1,2,\dots ,k-1,k\}}, se llama segmento de una sucesión natural y se denota {\displaystyle |1,k|}|1,k| o bien {\displaystyle [k]}{\displaystyle [k]}.[4]
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple:
a + c ≤ b + c
a × c ≤ b × c
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado
Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b ≠ 0, podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:
a = (b × q) + r y r < b
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.
Relación de orden
La relación sucesor le da una estructura de orden.[11]
Conceptos globales y de estructura Editar
Algebraicamente, el conjunto ℕ = {0, 1, 2, ... n, ...} es un semigrupo aditivo asociativo con elemento neutro 0 y semigrupo multiplicativo asociativo con elemento neutro 1.[12]
Topológicamente, ℕ tiene la topología cofinita.[13]
El cardinal de ℕ es menor que el cardinal de ℝ.[14]
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto infinito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal. En el mundo de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales infinitos son iguales a N así como los cardinales infinitos. Cuando nos movemos más allá de lo infinito, ambos conceptos son diferentes.
Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros, para lo cual en N × N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N × N:
(a, b) ~ (c, d) ↔ a + d = b + c.