Consideremos un grupo de 55 personas, de las cuales 25 hablan inglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas? Sabiendo que todos hablan al menos uno de los tres idiomas
Respuestas
25 personas hablan dos idiomas, considerando al grupo de 55 personas
Explicación paso a paso:
¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas?
Dos de los tres idiomas= x+y+x
a+b+c+x+y+z+5= 55
a+b+c+x+y+z = 50
Elaboremos los sistemas de ecuaciones:
De los que hablan Ingles:
a+x+y+z+5 = 25⇒ a+x+y =20
De los que hablan Francés:
b+x+z+5 =32 ⇒b+x+z = 27
De los que hablan Alemán:
c+y+z+5 = 33 ⇒ c+y+z = 28
Sumemos las tres ecuaciones:
a+b+c+x+y+z+x+y+z= 20+27+28
50 +x+y+z = 75
x+y+z = 25
25 personas hablan dos idiomas
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El total de personas del grupo que hablan dos idiomas y solo dos es igual a 23
Sean los conjuntos
A: Hablan inglés
B: Hablan Francés
C: Hablan Alemán
Entonces tenemos los siguientes dados:
|A| = 25
|B| = 32
|C| = 33
|A∩B∩C| = 5
|A∪B∪C| = 55
Los que hablan dos y solo dos idiomas son:
|A∩B| + |B∩C| + |A∩C| - 3*|A∩B∩C|
= |A∩B| + |B∩C| + |A∩C| - 3*5
= 1. |A∩B| + |B∩C| + |A∩C| - 15
Luego por teoría de conjuntos
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |A∩C| + |A∩B∩C|
|A∩B| + |B∩C| + |A∩C| = - |A∪B∪C| + |A| + |B| + |C| + |A∩B∩C|
|A∩B| + |B∩C| + |A∩C| = -55 + 23 + 32 + 33 + 5
|A∩B| + |B∩C| + |A∩C| = 38
Sustituimos en la ecuación 1:
= 38 - 15 = 23
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