Question

En el triangulo que muestra la figura los valores de b y sena son
con explicación paso a paso por favor

Answer 1

El lado faltante del triángulo (b) tiene una magnitud de 4√3 unidades. El seno del ángulo α es igual a 1/2

Siendo correcta la opción D

Solución

Calculamos la magnitud del lado faltante b  

Para hallar la dimensión del tercer lado vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Hallando la longitud del tercer lado

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { b^{2} = 4^{2} + 8^{2} - 2 \ . \ 4 \ . \ 8 \ . \ cos(60^o) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 16 + 64 -64 \ . \ cos(60^o) }}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 60 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }$

$\boxed {\bold { b^{2} = 80 - 64\ . \ \frac{1}{2} }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 80 -32 }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 48 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ b^{2} } =\sqrt{48} }}$

$\boxed {\bold { b =\sqrt{48} }}$

$\boxed {\bold { b =\sqrt{16\ . \ 3} }}$

$\boxed {\bold { b =\sqrt{4^{2} \ . \ 3} }}$

$\large\boxed {\bold { b =4\sqrt{3} \ unidades }}$

El lado b mide 4√3 unidades

Hallamos los ángulos faltantes del triángulo

Para determinar los ángulos desconocidos aplicaremos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{sen( \alpha )}{ a } = \frac{ sen(\beta ) }{ b } = \frac{ sen(\gamma) }{c} }}$

Hallando el ángulo A (α)

$\large\boxed { \bold { \frac{sen( \alpha )}{ a } = \frac{ sen(\beta ) }{ b } }}$

$\boxed { \bold { \frac{sen(A)} { a } = \frac{sen(B)}{b} }}$

$\large \textsf{Reemplazamos }$

$\boxed { \bold { \frac{sen( \alpha)}{ 4 \ u } = \frac{sen( 60^o ) }{ 4\sqrt{3} \ u } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{4 \not u \ . \ sen( 60^o ) }{4\sqrt{3} \not u } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 4 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{4\sqrt{3} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ \not2 \ . \ 2 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{4\sqrt{3} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 2 \sqrt{3} }{4\sqrt{3} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 2 \ . \not \sqrt{3} }{4\ . \not \sqrt{3} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 2 }{4 } }}$

$\large\boxed { \bold { sen(\alpha )= \frac{ 1 }{2 } }}$

Luego el seno del ángulo α es igual a 1/2

$\textsf{Aplicamos la inversa del seno }$

$\boxed { \bold {\alpha =arcsen \left( \frac{1}{2} \right ) }}$

$\large\boxed { \bold { \alpha = 30^o }}$

El ángulo A (α) tiene un valor de 30°

Para completar la resolución del triángulo podemos hallar el valor del tercer ángulo

Hallando el ángulo C (y)

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o =30^o+60^o + \ \gamma } }$

$\boxed {\bold { \gamma = 180^o - 30^o- 60^o } }$

$\large\boxed {\bold { \gamma =90^o } }$

El ángulo C tiene un valor de 90°