Question

Desde una torre de 15 m de estatura se divisa una piedra en el suelo con un ángulo de depresión de 37º. A que distancia de la torre se encuentra la piedra.

Answer 1

La distancia desde la base de la torre hasta donde se encuentra la piedra en el suelo es de 20 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura de la torre junto con el suelo donde esta se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la torre -donde se encuentra el observador avistando una piedra en el suelo-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base de la torre hasta la piedra en el suelo -ubicada en A- y el lado AB (c) que es la línea visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto de la torre- hasta dicha piedra en el suelo, la cual es vista con un ángulo de depresión de 37°

Donde se pide hallar:

La distancia entre la piedra y la base de la torre

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 37° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura de la torre donde se encuentra el observador y de un ángulo de depresión de 37°

• Altura de la torre = 15 metros

• Ángulo de depresión = 37°

• Debemos hallar a qué distancia de la base de la torre se encuentra  la piedra

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura de la torre- donde se ubica el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 37° y debemos hallar a qué distancia de la base de la torre se encuentra la piedra- la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia desde la base de la torre hasta donde se encuentra la piedra en el suelo

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =37^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura \ de \ la \ torre }{ distancia \ a \ la \ piedra } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ piedra = \frac{ altura \ de \ la \ torre }{ tan(37^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }$

$\boxed{\bold {distancia \ a \ la \ piedra = \frac{ 15\ m \ }{ \frac{3}{4} } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ a \ la \ piedra = 15 \ m \ \ . \ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ piedra = \frac{60 }{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ a \ la \ piedra =20 \ metros } }$

Luego la distancia desde la base de la torre hasta donde se encuentra la piedra en el suelo es de 20 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto