Si: N = 13 k+2 – 13 k tiene 75 divisores compuestos.
Halla “k”
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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para saber cuántos divisores tiene un número, debes iniciar por realizar la descomposición del número en factores primos.
En este caso, el número es representado por la expresión: 13^(k+2) - 13^k.
Esa expresión podemos simplificarla de la siguiente forma:
13^(k+2) - 13^k = (13^k)(13^2) - 13^k = (13^k) [13^2 - 1] = (13^k) (169 - 1) =
(13^k)(168).
Ahora podemos realizar su descomposición en factores primos:
(13^k) (2^3)(3)(7).
Ahora usa una propiedad o regla que establece que el número total de factores primos de un número se calcula como el producto de todos los exponentes a cada que aparezcan elevadosl os factores primos del número aumentados en 1.
En este caso, el exponente de 13 es k, por tanto un factor es k +1
El exponente de 2 es 3, por tanto otro factor es 3+1
El exponente de 3 es 1, por tanto otro factor es 1+1
Por último, el exponente de 7 es 1, por tanto, otro factor es 1+1
Y tenemos que el producto es (k+1)(3+1)(1+1)(1+1) = (k+1)(4)(2)(2) = 16(k+1)
La expresión encontrada, 16(k+1) da el número total de divisores, pero el dato que tenemos es de los divisores compuestos.
Entonces, debemos restarle la cantidad de divisores que no son cumpuestos.
Los divisores que no son compuestos son el 1 y cada factor primo, es decir 2, 3, 7 y 13. Eso nos da 5 divisores que no son compuestos. De allí que el número de divisores totales es 75 compuestos + 5 no compuestos = 80 divisores totales.
De donde, podemos igualar 16(k+1) = 80 => k+1 = 80/16 = 5
=> k = 5 - 1 = 4
Y la respueta es k = 4, tal como tú sabías de antemano.