Respuestas
Respuesta:En esta temática se estudiará muy concienzudamente la expresión conocida como la enésima potencia de a.
Definición 1
Para n número natural y a número real se define la n- Potencia de a como el producto de a por si misma n- veces; es decir, . El número a se conoce como la base y n como el exponente.
Se iniciará el estudio de la expresión en el caso donde a represente cualquier número real, es decir, a ∈ R y n un número entero positivo ( ), para este primer caso, la definición no presenta ninguna dificultad.
Ejemplos 1
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Otro Ejemplo: para el ejemplo . Para este caso, la base de la potencia es (-2) que difiere de donde la base es 2 y el signo menos es un factor de la potencia.
El comportamiento de los exponentes en las operaciones con potencias está gobernado por ciertas reglas sencillas, pero se debe estar muy atento al aplicarlas con el fin de no caer en errores que van en contra de la definición.
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.
Al efectuar productos de potencias de igual base se obtiene como resultado una potencia de igual base y como exponente la suma de los exponentes de las potencias involucradas, es decir: .
Comprobación:
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.
Al efectuar cocientes de potencias de igual base se obtiene como resultado una potencia de igual base y como exponente la resta de los exponentes de las potencias involucradas, es decir: .
Comprobación para m > n:
POTENCIA DE UNA POTENCIA.
Al elevar una potencia a una nueva potencia, se obtiene como resultado una potencia con la misma base, y como exponente el producto de los exponentes involucrados, es decir: .
Comprobación:
POTENCIA CUYA BASE ES UN PRODUCTO.
Cuando se tiene una potencia cuya base es un producto de dos o más factores, se puede distribuir el exponente en cada una de los factores, es decir: .
Comprobación:
Aplicando conmutativa y asociativa tantas veces como sea necesario.
POTENCIA CUYA BASE ES UN COCIENTE
Cuando se tiene una potencia cuya base es un cociente de dos o más factores, se puede distribuir el exponente en cada una de los factores, es decir: .
Comprobación:
Ejemplo 2
Utilizar las reglas de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones y después calcular su resultado.
Solución:
En este ejemplo también se puede iniciar utilizando primero la propiedad de potencia cuya base es un cociente y luego la regla de potencia de una potencia.
Hasta el momento en la definición de la n-esima Potencia de a , es decir, el conjunto donde toma valores a son los números reales y donde toma valores n son los enteros positivos o los números naturales.
Ahora para ciertos casos se restringirá y extenderá estos conjuntos con el fin de ampliar esta definición de manera que siga siendo consistente.
Definición 2
Si a ∈ R con a ≠ 0 y n un número entero positivo, entonces se tienen siempre las siguientes igualdades:
Recuerde que si n es un número entero negativo, entonces -n es un número entero positivo.
Ejemplo 3
Sea n = -2, entonces -n = -(-2) = 2 un número entero positivo.
Ejemplo 4
Utilicé las reglas de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones y después calcule sus resultados. Escriba su procedimiento.
.
Solución:
Ejemplo 5
Simplifique al máximo las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los exponentes y dé su respuesta sin exponentes negativos.
Solución:
Ejemplo 6
Utilizar las reglas de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones, y después calcular su resultado sin utilizar exponentes negativos.
Solución:
Ejemplo 7
Simplifique al máximo la siguientes expresión utilizando las propiedades de los exponentes y dé su respuesta sin exponentes negativos:
Solución 1:
Cuando aparecen expresiones complejas como la anterior se recomienda hacer algunas sustituciones con el fin de obtener una expresión mucho más sencilla y más cómoda de simplificar. Veamos:
Solución 2:
Se observa que los dos resultados finales del ejercicio son iguales.
Definición 3
Si n es cualquier positivo, se define como la raíz n-ésima de a . Es decir, significa
En esta definición se debe tener muy presente las siguientes dos condiciones:
a) Si n es un entero par, a necesariamente debe cumplir la condición de ser estrictamente mayor o igual que cero, para tener la seguridad que la expresión sea un número real. Es decir,
b) Si n es un entero impar a puede tomar cualquier valor en los números reales y la expresión siempre sigue siendo un número real. Es decir,
Ejemplo 8
PreviousNextPreviousNext
Otro ejemplo:
, para este caso n = 3 entero positivo impar y -8 ≤ 0 , su resultado es -2 ≤ 0 , en este caso no hay ninguna restricción sobre los valores que puede tomar a, la expresión siempre representa un número real.
Explicación paso a paso: