En una sucesión geométrica el primer término es 3 y la razón constante es 2 ¿Cuál es el décimo término?
Respuestas
Respuesta:
Las progresiones geométricas tienen distintas aplicaciones en la vida diaria como el cálculo de intereses de algún préstamo, cuando compras algún articulo o para medir crecimientos de población de alguna especie; te invito a conocer un poco de sus propiedades.
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija r, llamada razón.
Ejemplo:
Si se tiene a un primer término a1=3 y a una razón r=4 se puede construir la siguiente progresión geométrica:
3, 12, 48, 192, ...
ya que al operar el primer término a1=3 con la razón r=4 se obtiene que:
3
3(4)=12
12(4)=48
48(4)=192, ...
Como observas, el 12 se obtiene multiplicando 3 por 4, que es la razón, y así sucesivamente hasta llegar al término deseado n.
Por otro lado, si se conocen dos términos consecutivos an y an+1 de la progresión geométrica y no se conoce la razón r, se puede calcular la razón r dividiendo dichos términos como lo indica la siguiente ecuación:
{$$r=\frac{a_{n+1}}{a_n}
Ejemplo:
Se tiene la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24, 48, ... observa que cualesquiera dos términos consecutivos tienen la razón r=2, ya que al aplicar la ecuación anterior se obtiene que:
r=6/3=2
r=12/6=2
r=24/12=2
r=48/24=2
Término general de una progresión geométrica.
El término general de una sucesión es la expresión an que permite conocer cualquier término en función de su posición n.
Al momento de querer conocer el valor del término general an, te puedes enfrentar a dos situaciones:
1Si conoces al primer término a1 y a la razón r . En este caso es posible conocer a cualquier otro término de la progresión con el uso de la siguiente fórmula:
an = a1 · rn-1
Ejemplo:
Tienes la siguiente progresión, y te piden calcular el valor del término de la posición 20:
3, 6, 12, 24, 48, ...
Identifica que a1=3, la razón r =2 y como te piden conocer el valor del término 20, entonces n=20; al sustituir estos valores en la fórmula obtienes que:
a20 = 3· 220-1 = 3· 219 = 1, 572, 864
Por lo tanto, el valor del término 20 es 1, 572, 864.
2Cuando no conoces el primer término a1 de la progresión geométrica, pero conoces cualquier otro término ak y a la razón r. En este caso es posible calcular cualquier termino an usando la siguiente ecuación:
an = ak · rn-k
Donde k es el número de la posición del término que conoces y n es la posición del término que deseas conocer.
Ejemplo:
Supón que ak es igual a 24, donde k=4 y la razón r=2, al sustituir los valores en la fórmula tienes que:
an = a4 · 2n-4
Ahora, si quieres conocer el valor de a1, se calcula de la siguiente manera:
a1 = 24· 21-4= (24)· 2-3 = (24)(1/8) =3
Ahora, en el caso de querer conocer el valor de a10 se calcula de la misma manera que el ejemplo anterior:
a10 = 24· 210-4= (24)· 26 = 1536
No olvides que n es la posición del término que deseas conocer.
Como te darás cuenta no importa qué termino an se quiere conocer, pues se calcula con la fórmula adecuada dependiendo la situación. Ya sea conociendo al primer término a1 o a cualquier otro ak de la progresión geométrica, junto con la razón r.
Explicación paso a paso: