Question

Resolver:
∫ dx/ (eˣ + e⁻ˣ)

Answer 1

∫ dx/ (eˣ + e⁻ˣ)

Factorando e⁻ˣ del denominador:

∫ dx/ (eˣ + e⁻ˣ) = ∫ dx/ e⁻ˣ(e²ˣ + 1)

Este e⁻ˣ se puede ver como 1/eˣ, por consiguiente:
∫ dx/ e⁻ˣ(e²ˣ + 1) = ∫ eˣ /(e²ˣ + 1) dx

e²ˣ = (eˣ)²

∫ eˣ /(e²ˣ + 1) dx =  ∫ eˣ dx/((eˣ)² + 1) 

Realizando una sustitución:
u= eˣ
du = eˣ dx

 ∫ eˣ dx/((eˣ)² + 1) =  ∫ du /(u² + 1) 

Esta integral ya es fundamental puesto que (Arctan a)' = a'/a²+1

∫ du /(u² + 1) = Arctan u + c

Regresando a la variable original:
Arctan u + c= Arctan (eˣ) + c