Question

Juan pago bs 350 por 3 cajas de manzana y 5 cajas de naranjas.pedro compro 5 cajas de manzanas y 7 de naranjas y tubo que pagar 518 ¿cuál es el precio de cada caja de manzana y naranja? ​

Answer 1

El precio de la caja de manzanas es de $ 35

El precio de la caja de naranjas es de $ 49

Solución

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema basándonos en lo se ha abonado respectivamente por las dos compras que han realizado Juan y Pedro

Mediante las ecuaciones determinaremos el precio de una caja de manzanas y de una caja de naranjas

Llamamos variable "x" al precio de la caja de manzanas y variable "y" al precio de la caja de naranjas

Donde sabemos que:

Para la compra realizada por Juan este adquirió 3 cajas de manzanas y 5 cajas de naranjas pagando por estas un importe total de $ 350

Y donde Pedro compró 5 cajas de manzanas y 7 cajas de naranjas abonando por estas un importe total de $ 518

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Para la compra realizada por Juan sumamos las 3 cajas de manzanas compradas y las 5 cajas de naranjas adquiridas para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad abonada por Juan por su compra

$\large\boxed {\bold {3 x \ +\ 5y =350 }}$       $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego hacemos el mismo procedimiento para la compra efectuada por Pedro donde sumamos las 5 cajas de manzanas compradas y las 7 cajas de naranjas adquiridas para establecer la segunda ecuación igualándola  al monto pagado por Pedro por su compra

$\large\boxed {\bold {5x \ + \ 7y = 518 }}$       $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

En  $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed {\bold {3 x \ +\ 5y =350 }}$

Despejamos x

$\boxed {\bold {3 x = 350\ -\ 5y }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not3x}{\not3} = \frac{350}{3} -\ \frac{5y}{3} }}$

$\large\boxed {\bold { x = \frac{350}{3} -\ \frac{5y}{3} }}$          $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { x = \frac{350}{3} -\ \frac{5y}{3} }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {5x \ + \ 7y = 518 }}$

$\boxed {\bold {5 \ . \left(\frac{350}{3} -\frac{5y}{3} \right) \ +\ 7y = 518 }}$

$\boxed {\bold {\frac{1750}{3} -\frac{25y}{3} \ +\ 7y = 518 }}$

$\boxed {\bold {\frac{1750}{3} -\frac{25y}{3} \ +\ 7y\ . \ \frac{3}{3} = 518 }}$

$\boxed {\bold {\frac{1750}{3} -\frac{25y}{3} \ +\ \frac{21y}{3} = 518 }}$

$\boxed {\bold {\frac{1750}{3} -\frac{4y}{3} = 518 }}$

$\boxed {\bold {\frac{1750- 4y}{3} = 518 }}$

$\boxed {\bold {\not3 \ . \left(\frac{1750- 4y}{\not 3} \right) =3 \ . \ 518 }}$

$\boxed {\bold { 1750 - 4y = 1554}}$

$\boxed {\bold { - 4y = 1554-1750}}$

$\boxed {\bold { - 4y =- 196}}$

$\boxed {\bold {y =\frac{-196}{-4} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 49 }}$

El precio de la caja de naranjas es de $ 49

Hallamos el precio de la caja de manzanas

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { x = \frac{350}{3} -\ \frac{5y}{3} }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{350}{3} -\ \frac{ \ 5 . \ 49}{3} }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{350}{3} -\ \frac{245}{3} }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{105}{3} }}$

$\large\boxed {\bold { x = 35 }}$

El precio de la caja de manzanas es de $ 35

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {3 x \ +\ 5y =\ \ 350 }}$

$\boxed {\bold { 3 \ cajas\ manzanas \ . \ \ \ 35 \ +\ 5 \ cajas \ naranjas \ \ \ 49 = \ \ 350 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 105 \ + \ \ \ 245 = \ \ 350}}$

$\boxed {\bold {\ \ 350 = \ \ 350 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {5x \ + \ 7y = \ \ 518 }}$

$\boxed {\bold { 5 \ cajas\ manzanas \ . \ \ \ 35 \ +\ 7 \ cajas \ naranjas \ \ \ 49 = \ \ 518 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 175 \ + \ \ \ 343 = \ \ 518 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 518 = \ \ 518}}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$