Question

una pelota sale rodando por el borde de una mesa de de 1.2 m de altura si cae al suelo en punto situado a 1.8 m de pie de la mesa

.q velocidad llevaba la pelota al salir
de la mesa ?

con q velocidad golpea el suelo ?
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Answer 1

a) La velocidad inicial de la pelota fue de 3.67 metros por segundo (m/s), luego esta llevaba esa velocidad al salir de la mesa

b) La velocidad resultante con la que golpea la pelota el suelo es de 6.12 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

SOLUCIÓN

a) Hallamos la velocidad que llevaba la pelota al salir de la mesa

Primero calculamos el tiempo de vuelo de la pelota

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Considerando la altura H desde donde ha caído $\bold {H= 1.2 \ m }$

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 1.2 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 2.4 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{0.24 \ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 0.48989\ segundos } }$

$\large\boxed {\bold { t = 0.49 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo de la pelota fue de 0.49 segundos

Conociendo ahora el tiempo de vuelo del cuerpo podemos determinar la velocidad con que la pelota salió de la mesa

Luego hallamos la velocidad con la cual cayó la pelota

Dado que conocemos a que distancia del pie de la mesa cayó la pelota, luego sabemos su alcance máximo $\bold { x_{MAX} = 1.8 \ m}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{x} \ . \ t }}$

Donde como en el eje x se tiene un MRU despejamos la velocidad inicial

$\boxed {\bold { V_{0} = \frac{ x_{MAX} }{t} }}$

$\boxed {\bold { V_{0} = \frac{ 1.8\ m}{ 0.49\ s} }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0} =3.67\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad inicial de la pelota fue de 3.67 metros por segundo (m/s)

b) Hallamos la velocidad con que la pelota golpeó el suelo

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de  0.49 segundos

Para el eje x - horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial que hallamos en el inciso anterior

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =3.67 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 0.49 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-4.90\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con que golpea el suelo la pelota en su caída se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{T} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(3.67 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-4.90 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{13.4689\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +24.01 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{37.4789\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 6.122001 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 6.12 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con la que golpea la pelota el suelo es de 6.12 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento