Question

determinar el valor de M y N de modo que la función f(x) sea continua en todo su dominio:

f(x)= -4cos (3x) si x ≤ 0
M cos (2x) + N si 0 < x < π/2
sen (x) -5M si x ≥ π/2

Answer 1

Como podemos observar las función definida a trozos está compuesta por funciones elementales que son continuas en todo su dominio, por lo que solo debemos preocuparnos por los puntos de unión.

Para una función definida a trozos sea continua, sus límites laterales en los puntos de cambio deben coincidir, esto es:

$-4\cos(3x) = M\cos(2x)+N \ \ \ \text{para x =0}$

$-4\cos(3\cdot 0) = M\cos(2\cdot 0)+N$

$-4 = M + N$

Los segundos extremos igual deben cumplir la misma condición, por tanto:

$M \cos (2x) + N = \sin (x) -5M \ \ \ \ \text{para x = \dfrac{\pi}{2} }$

$M \cos (2\cdot\dfrac{\pi}{2}) + N = \sin (\dfrac{\pi}{2}) -5M$

$M \cos (\pi) + N = \sin (\dfrac{\pi}{2}) -5M$

$-M + N = 1 -5M$

$4M + N = 1$

Agrupamos ambas ecuaciones y resolvemos:

M + N = -4

4M + N = 1

Dado el grado del ejercicio, es trivial resolver este sistema de ecuaciones de dos incóngnitas. Una vez resuelto obtenemos M = 5/3 y N = -17/3.

Te adjunto la gráfica de la función. Como se aprecia, es continua en todo su dominio.