Question

Se dispara un proyectil al aire desde la cima de una montaña a 200 m por encima de un valle (ver figura). Su velocidad inicial es de 60,0 m/s a 60,0° respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire, Determine lo siguiente
a. El módulo de velocidad justo antes de impactar en el suelo.
b. El alcance horizontal respecto del punto de lanzamiento.

Answer 1

a) La velocidad del proyectil al impactar el suelo es de 87.17 m/s

b) El alcance horizontal del proyectil es de 401.4 m

Solución:  

Hallamos las componentes horizontal y vertical para una $\bold { V_{0} = \ 60\ \frac{m}{s} }$

Velocidad horizontal

Velocidad inicial sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0x} = 60 \ \frac{m}{s} \ . \ cos \ 60^o }}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 60 es } \bold {\frac{ 1 } {2 } }$

$\large\boxed {\bold { V_{0x} = 30\ \frac{m}{s} }}$

Velocidad vertical

Velocidad inicial sobre el eje y  

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0y} =60\ \frac{m}{s} \ . \ sen \ 60^o }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {2 } }$

$\boxed {\bold { V_{0y} =60\ \frac{m}{s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0y} = 30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} }}$

Tiempo de vuelo

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H + {V_{0y} \ . \ t \ -\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\large \textsf{Tomamos como valor de gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Dado que el proyectil fue lanzado desde la cima de una montaña desde una altura de 200 m

$\boxed {\bold { y =H+ {V_{0y} \ . \ t \ -\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y = 200 \ m \ + 30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\frac{10\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }{2} } }$

$\boxed {\bold { y = 200 \ m \ + 30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -5\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { 0 = 200 \ m \ + 30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -5\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { \ -5\ \frac{m}{s^{2} } . \ t^{2} +30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ . \ t \ + \ 200 \ m = 0 }}$

$\large\textsf{Se tiene una ecuaci\'on cuadr\'atica }$

$\large\boxed {\bold { -5\ t^{2} +30\sqrt{3} \ t \ + \ 200 \ = 0 }}$

$\textsf{Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de} \ \bold{a = -5, \ b =30\sqrt{3} \ y \ c = 200 }$

$\large\textsf{Resolvemos para t}$    

$\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm \sqrt{ ( 30\sqrt{3} )^2 - 4\ . \ (-5 \ . \ 200) } }{2 \ . \ -5} }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 900 \ . \ 3 - 4\ . \ (-1000) } }{-10 } }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 2700 +4000 } }{-10 } }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 6700 } }{-10 } }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm \sqrt{ 100 \ . \ 67 } }{-10 } }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-30\sqrt{3} \pm10 \sqrt{ \ 67 } }{-10 } }}$

$\boxed{ \bold{ t= 3\sqrt{3} \ \pm \ \sqrt{67} }}$

$\large\boxed{ \bold{ t= 13.38\ , \ -2.98 }}$

$\large\textsf {Se toma la soluci\'on positiva }$

$\large\boxed{ \bold{ t_{V} = 13.38 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo es de 13.38 segundos

a) Hallamos la velocidad de impacto

Eje x - Eje horizontal

En el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Se toma la velocidad inicial

$\large\boxed {\bold { {V_x} =30 \ \frac{m}{s} }}$

Eje y - Eje vertical

En el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

$\boxed {\bold { V_{y} =V_{0y}- g\ . \ t }}$

$\boxed {\bold { {V_y} =30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ - 10 \ \frac{m}{s^{\not2} } \ . \ 13.38 \not s }}$

$\boxed {\bold { {V_y} =30\sqrt{3} \ \frac{m}{s} \ - 133.80 \ \frac{m}{s } }}$

$\large\boxed {\bold { {V_y} =-81.84 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad final del proyectil se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(30 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-81.84 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{900 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } +6697.7856 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{7597.7856 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 87.16527 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| =87.17 \ \frac{m}{s} }}$

b) Alcance horizontal

Como en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos la velocidad inicial y la multiplicamos por el tiempo

$\large\boxed {\bold {x_{MAX} =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold {x_{MAX} = 30\ \frac{m}{\not s}\ . \ 13.38 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { x_{MAX} =401.4 \ m }}$

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento