¿Cuáles serán las dimensiones de la superficie destinada para hacer ejercicios si debe tener la máxima área?
¿Cuál será el área de dicho espacio?
¿Qué tipos de ejercicios podría realizar en el espacio delimitado por la cuerda?
Respuestas
Respuesta:
Las dimensiones necesarias para que el espacio contiguo a la casa de María tenga la mayor área posible son: 10 metros en el lado paralelo a la casa y 5 metros en los laterales.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área del espacio contiguo a la casa de María.
Si llamamos
x = longitud del lado paralelo a la casa, en metros
h = longitud de los laterales, en metros
La función objetivo viene dada por:
Área = A = xh m²
Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la longitud L de la cuerda que delimitará el espacio rectangular (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x:
por tanto la función objetivo es
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
es un máximo de la función A.
Sustituimos el valor de la longitud del lado en la ecuación de cálculo del lateral h:
¿Cuáles serán las dimensiones de la superficie destinada para hacer ejercicios si debe tener la máxima área?
Las dimensiones necesarias para que el espacio contiguo a la casa de María tenga la mayor área posible son: 10 metros en el lado paralelo a la casa y 5 metros en los laterales.
¿Cuál será el área de dicho espacio?
A = (10)(5) = 50 m²
El área del espacio contiguo a la casa de María será de 50 m².
Explicación paso a paso:
Analizando la situación asociada el espacio creado por María para hacer ejercicio tenemos:
- Las dimensiones del espacio destinado para hacer ejercicio son: la base es de 5 metros y la altura es de 10 metros.
- El área del espacio es de 50 metros cuadrados.
- Aquí se puede hacer ejercicios básicos como sentadillas y saltos combinados.
Explicación paso a paso:
1. Los datos para resolver esta situación son:
- La superficie para hacer ejercicio es rectangular.
- La longitud de la cuerda es de 20 metros.
- La cuerda solo demarcará 3 lados del rectángulo.
Para resolver esta situación planteamos la ecuación a maximizar y la ecuación auxiliar:
- A = b · h ⇒ ecuación a maximizar, el área del rectángulo
- P = 2b + h ⇒ ecuación auxiliar, el perímetro del rectángulo
NOTA: el perímetro se asociará, únicamente, a la longitud de la cuerda.
Sabemos que la longitud de la cuerda es de 20 metros, entonces:
20 = 2b + h
h = 20 - 2b
Sustituimos esta ecuación en la ecuación de área:
A = b·(20 - 2b)
A = 20b - 2b²
Como debemos maximizar, derivamos e igualamos a cero:
A' = 20 - 4b = 0
20 - 4b = 0
4b = 20
b = 5 m ; siendo esta la base
Procedemos a calcular la altura:
h = 20 - 2b
h = 20 - 2·(5)
h = 20 - 10
h = 10 m ; siendo esta la altura
Por tanto, el mayor rectángulo que se puede formar es uno de 5 metros de base y 10 metros de altura.
2. El área de dicho espacio será:
Amáx = base · altura
Amáx = 5·10 m²
Amáx = 50 m²
Siendo el área del espacio igual a 50 m².
3. Algunos ejercicios que pudiera realizar en el espacio delimitado son:
- Estiramientos.
- Saltos combinados.
- Sentadillas.
- Reflexiones.
- Trotes suaves recorriendo el perímetro del área.
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