Question

RESOLVER LA INECUACIÓN
|x−2|^2>4|x−2|+5

Answer 1

Pasos:

$|x-2|^2>4|x-2|+5$

Encontrar intervalos positivos y negativos:

$x<2 ,x\geq 2$

Resolver la desigualdad con cada intervalo:

$x<-3$ or $x>7$

Answer 2

Respuesta:  (x > 7) ∨ (x<-3).

Solución : x ∈ (-∞ , -3) ∪ (7 , ∞)

Explicación paso a paso:

|x−2|^2>4|x−2|+5 ................ (*)

Sea  Y = |x−2|, entonces en (*), queda:

Y² > 4Y + 5

Y² - 4Y - 5 > 0

(Y - 5)(Y + 1) > 0

Debido a que  Y =|x−2|,  ambos factores deben ser positivos. Por tanto:

(Y - 5) > 0   ∧  (Y + 1) > 0

Y  >  5   ∧   Y > - 1

|x−2| > 5   ∧   |x−2| > -1

(x-2)>5  ó  (x-2)< -5] ∧ (-∞ , ∞)

[x > (5+2) ó x < -5+2] ∧ (-∞ , ∞)

[(x > 7) ∨ (x<-3)] ∧ (-∞ , ∞)

Al realizar la intersección de los conjuntos, resulta   [(x > 7) ∨ (x<-3)].

x ∈ (-∞ , -3) ∪ (7 , ∞)