Question

Halla la ecuación general de la circunferencia, de radio r=10 unidades, que sea tangente a la recta de ecuación:3x - 4y - 13 = 0 en el punto T(7,2).

Answer 1

Recta: 3X - 4Y - 13 = 0

La tengo que dejar de la forma: Y = mX + b

3X - 13 = 4Y (Divido todo entre 4)

3X/4 - 13/4 = Y

Ahora como nos dicen que la circunferencia es tangente a la recta 3X - 4Y - 13 = 0 (3X/4 - 13/4 = Y) y que pasa por el punto (7,2) significa que hay una recta que pasa por el centro de la circunferencia y es perpendicular a  Y = 3X/4 - 13/4 en el punto (7 , 2)

Entonces para que dos rectas sean perpendiculares el producto de sus pendientes m1xm2 = -1; 

Donde m1 = 3/4; m2 = ?

m2 = -1/(3/4); m2 = -4/3

Ahora tengo la pendiente de la recta 2: m2 = -4/3 y esta a su vez debe pasar por el punto (7,2) uso la siguiente formula para hallar la ecuacion de la recta:

Y - Y1 = m(X - X1):  Donde m = -4/3; X1 = 7; Y1 = 2

Y - 2 = (-4/3)(X - 7)

Y - 2 = -4X/3 + 28/3

Y = -4X/3 + 28/3 + 2

Y = -4X/3 + 28/3 + 6/3

Y = -4X/3 + 34/3 (Ecuacion perpendicular que pasa por el centro de la circunferencia y por el punto (7,2))

Ahora bien una vez encontrada la ecuacion de la recta aplico la formula de la distancia entre dos puntos ya que la distancia desde el centro de la circunferencia al punto (7,2) es igual al radio = 10

 $d = \sqrt{(X2 - X1)^{2} +(Y2 - Y1)^{2}}$

X2 = 7; Y2 = 2

(X1 , Y1) Es el centro de la circunferencia.

Distancia d = 10

$10 = \sqrt{(7 - X1)^{2} + (2 - Y1)^{2}}$

Ahora elevo ambos terminos al cuadrado

100 = (7 - X1)² + (2 - Y1)²

100 = 49 - 14X1 + X1² + 4 - 4Y1 + Y1²

100 = 53 - 14X1 + X1² - 4Y1 + Y1²

47 = X1² + Y1² - 14X1 - 4Y1

Ahora bien recordemos que:

Y = (-4X/3) + 34/3 Debe cumplirse que X1 y Y1 estan contenidos en la recta

Y1 = (-4X1/3) + 34/3

47 = X1² + [(-4X1/3) + 34/3]² -14X1 - 4[(-4X1/3) + 34/3]

47 = X1² + [(16X1²/9) - 272X1/9 + 1156/9] -14X1 + 16X1/3 - 136/3

47 = X1² + 16X1²/9 - 272X1/9 + 1156/9 -14X1 + 16X1/3 - 136/3

47 = (25X1²/9) - (350X1/9) + 748/9

0 = (25X1²/9) - (350X1/9) + (748/9) - 47

0 = (25X1²/9) - (350X1/9) + 325/9

Queda una ecuacion de segundo grado para X1

Donde: a = 25/9;  b = -350/9; c = 325/9 (Podemos simplificar el 9)

a = 25; b = -350; c = 325

$X1=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$X1=\frac{-(-350)\pm \sqrt{(-350)^2-4(25)(325)}}{2(25)}$

$X1=\frac{350\pm \sqrt{(122500-32500)}}{50}$

$X1=\frac{350\pm \sqrt{(90000)}}{50}$

$X1=\frac{350\pm \ 300}{50}$

X1,1 = [350 + 300]/50 = 650/50 = 13

X1,2 = [350 - 300]/50 = 50/50 = 1

Como no nos especifican usamos X1 = 13 y X1 = 1

Ahora reemplazamos estos valores en:

Y1 = (-4X1/3) + 34/3

Para X1 = 13

Y1 = [-4(13)/3] + 34/3

Y1 = -52/3 + 34/3

Y1 = -6

y

Para X1 = 1

Y1 = (-4X1/3) + 34/3

Y1 = [-4(1)/3] + 34/3

Y1 = (-4/3) + 34/3

Y1 = 30/3: Y1 = 10

Osea que: Para X = 13; Y = -6 y que para X = 1; Y = 10

Osea que nos salen dos circunferencias con centro en (13 ,-6) y (1 ,10)

Circunferencia 1: Centro (13, -6) y radio = 10

(X - h)² + (Y - k)² = r²

Donde: -h = 13;  h = -13;  -k = -6; k = 6

(X - 13)² + (Y + 6)² = 10²

X² - 26X + 169 + Y² + 12Y + 36 = 100

X² + Y² - 26X + 12Y + 205 = 100

X² + Y² - 26X + 12Y + 105 = 0 (Ecuacion general circunferencia 1)

Ahora circunferencia 2: Centro (1 , 10) Radio = 10

(X - h)² + (Y - k)² = r²

-h = 1; h = -1; -k = 10;  k = -10

(X - 1)² + (Y - 10)² = 10²

(X² - 2X + 1) + (Y² - 20Y + 100) = 100

X² + Y² - 2X - 20Y + 101 = 100

X² + Y² - 2X - 20Y + 1 = 0 (Ecuacion general de la segunda circunferencia)

Te anexo enlace con la imagen de la situacion ya que no puede anexarla directamente:

http://subirimagen.me/uploads/20170405152822.png