Question

Para que valores de α1; α2, α3 y α4 ocurre que

V = {(x1; x2; x3)^t pertenece R^3 : α1x1 + α2x2 + α3x3 = α4}

es un subespacio vectorial de R^3.

Answer 1

El conjunto V es un subespacio vectorial para $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in R$ y $\alpha_4=0$.

Explicación paso a paso:

Para que el conjunto V sea un subespacio vectorial, tiene que contener al elemento nulo, que en este caso es (0,0,0), por lo que podemos comenzar planteando esta condición:

$\alpha_1.x_1+\alpha_2.x_2+\alpha_3.x_3=\alpha_4\\\\(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)=>\alpha_1.0+\alpha_2.0+\alpha_3.0=\alpha_4\\\\\alpha_4=0$

Además la combinación lineal entre varios elementos del subespacio tiene que ser cerrada, es decir, si dos o más elementos pertenecen todos al subespacio, la combinación lineal entre ellos tiene que pertenecer al subespacio. Así tenemos:

$(x_1,x_2,x_3)\in V=>\alpha_1.x_1+\alpha_2.x_2+\alpha_3.x_3=0\\\\(y_1,y_2,y_3)\in V=>\alpha_1.y_1+\alpha_2.y_2+\alpha_3.y_3=0$

Si multiplicamos los dos vectores por sendos escalares k y m queda:

$v=k(x_1,x_2,x_3)=>\alpha_1.mkx_1+\alpha_2.kx_2+\alpha_3.kx_3=0\\k(\alpha_1.mx_1+\alpha_2.x_2+\alpha_3.x_3)=0=>k(x_1,x_2,x_3)\in V\\\\v=m(y_1,y_2,y_3)=>\alpha_1.my_1+\alpha_2.my_2+\alpha_3.my_3=0\\m(\alpha_1.y_1+\alpha_2.y_2+\alpha_3.y_3)=0=>m(y_1,y_2,y_3)\in V$

Vemos que la multiplicación por un escalar pertenece al subespacio, si sumamos las dos expresiones miembro a miembro queda:

$\alpha_1.kx_1+\alpha_2.kx_2+\alpha_3.kx_3=0\\\\\alpha_1.my_1+\alpha_2.my_2+\alpha_3.my_3=0\\\\\alpha_1.kx_1+\alpha_2.kx_2+\alpha_3.kx_3+\alpha_1.my_1+\alpha_2.my_2+\alpha_3.my_3=0\\\\\alpha_1(kx_1+my_1)+\alpha_2(kx_2+my_2)+\alpha_3(kx_3+my_3)=0\\\\(kx_1+my_1,kx_2+my_2,kx_3+my_3)=k(x_1,x_2,x_3)+m(y_1,y_2,y_3)\in V$

Verificamos que la combinación lineal es cerrada con cualquier valor real de $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$