Se desea construir canal de lluvia utilizando una hoja de metal de 30cm de ancho, plegando hasta un tercio a cada lado de la hoja con un ángulo 0. ¿Como debe elegirse 0 de manera que el canal conduzca la cantidad máxima de agua?
Respuestas
El pliegue de la hoja de metal debe efectuarse con un ángulo de 30° con respecto a la vertical para que el área del trapecio sea la mayor posible y, por ende, el canal conduzca la cantidad máxima de agua.
Explicación paso a paso:
Se desea conocer el valor del ángulo a para que el área del trapecio sea máxima. Para ello se construye la función área (A) partiendo de las dimensiones del trapecio y expresándola en términos del ángulo, tal como se observa en la figura anexa.
Área del trapecio = A = (altura)(base superior + base inferior)/2 ⇒
A = (h)(10 + 10 + 2x)/2 = (h)(10 + x)
Sen(a) = (x) / (10) ⇒ x = 10 Sen(a)
Cos(a) = (h) / (10) ⇒ h = 10 Cos(a)
La función objetivo es:
A = [10 Cos(a)] [10 + 10 Sen(a)] = 100 Cos(a) + 100 Cos(a) Sen(a)
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es
A' = [100 Cos(a) + 100 Cos(a) Sen(a)]' ⇒
A' = -100 Sen(a) - 100 Sen²(a) + 100 Cos²(a)
A' = 0 ⇒ -100 Sen(a) - 100 Sen²(a) + 100 Cos²(a) = 0 ⇒
-100 Sen(a) - 100 Sen²(a) + 100 [1 - Sen²(a)] = 0 ⇒
-200 Sen²(a) - 100 Sen(a) + 100 = 0 ⇒
2 Sen²(a) + Sen(a) - 1 = 0
Resolvemos usando la ecuación general de segundo grado:
\bold{Sen(a)~=~\dfrac{-1~\pm~\sqrt{(1)^2~-~4(2)(-1)}}{2(2)}~=~\dfrac{-1~\pm~3}{4}}
De aquí que Sen(a) = -1 o Sen(a) = ½
El Seno del ángulo a no puede ser -1; así que despejamos a del segundo valor y se obtiene que
a = ArcSen(½) = π/6 radianes (30°)
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
A'' = [-100Sen(a) - 100Sen²(a) + 100Cos²(a)]' = -100Cos(a) - 400Sen(a)Cos(a)
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
A''(π/6) = -100 Cos(π/6) - 400 Sen(π/6) Cos(π/6) < 0 ⇒
a = π/6 (30°) es un máximo de la función
El pliegue de la hoja de metal debe efectuarse con un ángulo de 30° con respecto a la vertical para que el área del trapecio sea la mayor posible y, por ende, el canal conduzca la cantidad máxima de agua.
