Question

Encontrar la ecuación de la parábola con vértice V(7,4), eje de simetría paralelo al eje X y foco F(10,4).​

Answer 1

La ecuación de la parábola en la forma canónica está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (y-4)^2= 12\ (x- 7) }}$

La ecuación de la parábola en la forma general está dada por:

$\large\boxed{ \bold { y^2-8y- 12x +100= 0}}$

Solución

Se tiene la parábola con

Vértice: V (7, 4)

Foco: F (10, 4)

Hallando la ecuación ordinaria de la parábola

Como los valores de y son los mismos empleamos la ecuación de una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha

$\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}$  

Hallamos la distancia desde el foco hasta el vértice

Restamos la coordenada x del vértice de la coordenada x del foco para hallar |p|

$\boxed {\bold { p = 10-7 }}$

$\boxed {\bold { p =3 }}$

Reemplazamos los valores conocidos en la forma: .

$\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}$

$\boxed{ \bold { (y-(4) )^2= 4 \ . \ (3)\ (x- (7)) }}$

$\large\boxed{ \bold { (y-4)^2= 12\ (x- 7) }}$

Habiendo hallado la ecuación canónica de la parábola

Hallamos la ecuación de la parábola en la forma general

La forma general de la ecuación de una parábola que abre a la izquierda o a la derecha, también llamada parábola horizontal esta dada por:

$\large\boxed {\bold {A y^{2}+ By+ Cx+ D = 0 }}$

Donde la ecuación general de una parábola se obtiene a partir de su ecuación en la forma ordinaria o canónica, desarrollando el binomio  y simplificando la expresión

$\boxed{ \bold { (y-4)^2= 12\ (x- 7) }}$

$\boxed{ \bold { y^2 -8y +16= 12x-84 }}$

$\boxed{ \bold { y^2 -8y +16- 12x+84= 0 }}$

$\boxed{ \bold { y^2 -8y-12x +16 +84 = 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { y^2-8y- 12x +100= 0}}$

Habiendo hallado la ecuación general de la parábola

Se agrega gráfico