Question

Un diamante de S/2200 se divide en n partes cuyos pesos son como 1; 2; 3; ... así sucesivamente. Si el precio del diamante es DP al cuadrado de su peso y al dividirse se perdió S/1920, calcule el valor de n.
A) 4
B) 11
C) 10
D) 8
E) 12

Answer 1

Magnitudes proporcionales

El valor de n:

$\frac{(2n+1)}{n(n+1)} = \frac{21}{2(5)(11)}$    ⇒   $n = 10$

Observaciones:

• Precio (Precio del diamante) DP (Peso)²

         $\frac{Precio}{(Peso)^{2} } = Cte$

• El diamante se divide en n partes cuyos pesos son:

       1; 2; 3; 4; 5; ...

1. Si el diamante esta dividido los precios de cada parte será directamente proporcional con su peso.

        $\frac{P_{1}} {(1)^{2} } = \frac{P_{2}} {(2)^{2} } = \frac{P_{3}} {(3)^{2} } =\frac{P_{4}} {(4)^{2} }=...= \frac{P_{n}} {(n)^{2} }$

Si se perdió s/1920, entonces...

s/2200 - s/1920  = s/280

Lo que nos queda es el resultado de los precios divididos en n partes, porque el diamante esta fraccionado y por ende pierde su valor inicial.

$P_{1} + P_{2} +P_{3}+P_{4}+...+P_{n} = s/280$

Además

La suma de los pesos divididos = Peso total

$1 + 2 + 3 + 4 +...+n = \frac{n(n+1)}{2}$

Relacionando los datos:

Precio del diamante: s/2200

Peso total:  $\frac{n(n+1)}{2}$  

Precio DP Peso

$\frac{2200}{(\frac{n(n+1)}{2})^{2} } =\frac{P_{1}} {(1)^{2} } = \frac{P_{2}} {(2)^{2} } = \frac{P_{3}} {(3)^{2} } =\frac{P_{4}} {(4)^{2} }=...= \frac{P_{n}} {(n)^{2} }$

• Por propiedad de proporciones:

        $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$  ⇒   $\frac{a+c}{b+d} = k$

$\frac{2200}{(\frac{n(n+1)}{2})^{2} } = \frac{P_{1}+P_{2}+P_{3} +P_{4}+...+P_{n}}{(1)^{2}+(2)^{2} +(3)^{2}+(4)^{2}+...+(n)^{2}}$

• Recordar:

      $(1)^{2} + (2)^{2} + (3)^{2} + (4)^{2} +...+ (n)^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

      $P_{1}+P_{2}+P_{3} +P_{4}+...+P_{n} = s/280$

$\frac{2200}{(\frac{n(n+1)}{2})^{2} } = \frac{280}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{(\frac{(n(n+1))^{2} }{4}) } = \frac{280}{2200}$

$\frac{\frac{(2n+1)}{6} }{\frac{n(n+1)}{4} } =\frac{7}{55}$

$\frac{(2n+1)}{n(n+1)} = \frac{21}{2(5)(11)}$

$n = 10$

∴Clave C) 10

Saludos!!  ⊕π⊕