La utilidad de producir y vender x unidades de un bien para una empresa está dada
por: U(x) = −x
2 + 80x − 500
a) ¿Qué utilidad tendrá la empresa si produce y vende 20 unidades? ¿35 unidades?
¿55 unidades?
b) ¿Qué nivel(es) de producción debe tener la empresa para que no haya pérdidas,
ni ganancias?
c) ¿Para qué niveles de producción la firma puede incurrir en perdidas?
d) ¿Para qué nivel de producción la firma alcanza la máxima ganancia? ¿Cuál es
dicha ganancia?
e) Gráfica : U(x)
Respuestas
Al resolver el problema se obtiene:
a) La utilidad tendrá la empresa si produce y vende:
U(20) = 700
U(35) = 1075
U(55) = 875
b) Los niveles de producción debe tener la empresa para que no haya pérdidas, ni ganancias son:
x₁ ≈ 73
x₂ = 7
c) El niveles de producción para que la firma puede incurrir en perdidas es: 7 < x < 73
d) El nivel de producción la firma alcanza la máxima ganancia es: x = 40
La ganancia es : U(max) = 1100
e) Gráfica : U(x)
Ver la imagen adjunta
Explicación paso a paso:
Datos;
La utilidad de producir y vender x unidades de un bien para una empresa está dada por: U(x) = - x² + 80x - 500
a) ¿Qué utilidad tendrá la empresa si produce y vende 20 unidades?
¿35 unidades? ¿55 unidades?
Evaluar x = 20 en U(x);
U(20) = - (20)² + 80(20) - 500
U(20) = 700
Evaluar x = 35 en U(x);
U(35) = - (35)² + 80(35) - 500
U(35) = 1075
Evaluar x = 55 en U(x);
U(55) = - (55)² + 80(55) - 500
U(55) = 875
b) ¿Qué nivel(es) de producción debe tener la empresa para que no haya pérdidas, ni ganancias?
Hacer U(x) = 0;
- x² + 80x - 500 = 0
Aplicar la resolvente;
x₁,₂ = -80±√[80²-4/-1)(-500)]/2(-1)
x₁,₂ = -80±√[4400]/-2
x₁,₂ = -80±20√11/-2
x₁ ≈ 73
x₂ = 7
c) ¿Para qué niveles de producción la firma puede incurrir en perdidas?
7 < x < 73
d) ¿Para qué nivel de producción la firma alcanza la máxima ganancia? ¿Cuál es dicha ganancia?
Aplicar derivada;
U'(x) = d/dx (- x² + 80x - 500)
U'(x) = -2x + 80
Igualar a cero;
-2x + 80 = 0
2x = 80
x = 80/2
x = 40
Evaluar;
U(max) = -40² + 80(40) -500
U(max) = 1100
e) Gráfica : U(x)
Ver la imagen adjunta.
