Question

Límite de formas Indeterminadas

Answer 1

Bueno, ahí tienes algunos de los diferentes casos de límites con lo que te toparás en tu camino, para el primero como ahí dice nos garantiza que no existe indeterminación, entonces reemplazamos el valor a evaluar. entonces,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}{\frac{x^{2}-3x+6}{5x-2}}={\frac{(2)^{2}-3(2)+6}{5(2)-2}}=\frac{4-6+6}{10-2}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

ahora, con el siguiente ya tenemos una indeterminación, haber, una indeterminación es un caso en el que se presentan cosas extrañas o anomalías, por ejemplo, $\displaystyle\frac{0}{0}.\frac{\infty}{\infty},\frac{algo}{0},0\times\infty$ son "cálculos" o expresiones que no tiene un valor ni una consistencia numérica aceptable...y el propósito es deshacernos de ésta...bien, a veces solo será cosa de factorizar, jugar con los números, o en su defecto será aplicando teoremas, regla de L`Hopital , artificios...etc.

Bien, para else gundo,

$\displaystyle\lim_{t\rightarrow-4}{\frac{t^{3}+64}{t+4}}=\lim_{t\rightarrow-4}{\frac{(t+4)(t^{2}-4t+16)}{t+4}}=\lim_{t\rightarrow-4}(t^{2}-4t+16)$

saberse los casos de factorización te puede salvar la vida...entonces mejor ve revisando el librito de Baldor...y de ésta forma ya le hemos transformada a un límite de sustitución, bien, eso es very fácil, así que terminalo.

Para el tercero...tenemos una interpretación muy simpática...si el denominador de una fracción crece sin límite, ese valor es muy cercano a cero...¿cierto?, tienes 5 caramelos y quieres repatirlos entre 10...a cada uno le tocará 0,5 y si los quieres repartir entre 20, será 0,25 y si quieres repartir entre 100, será 0,05 y como algunos son bien "codos" y quieren repartir esos 5 caramelitos entre todo el país,  a cada uno le va a tocar algo tan insignificante que será MUY CERCANO a cero pero NO ES CERO...ahora el infinito es una tendencia recontra,hiper,ultramega gigantesca, entonces algo entre infinito es IGUAL a cero, entonces ese es el propósito con éste tipo de límites, para eso, divimos el numerador y el denominador entre la variable de mayor grado, .veamos,

 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{x^{2}}{x^{3}+x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\frac{x^{2}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}+x}{x^{3}}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}+\frac{x}{x^{3}}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^{2}}}}=...\\\\\\\frac{\frac{1}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty^{2}}}=\frac{0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$

infinito al cuadrado es un número todavía aún más gigantesco, entonces se hace cero....y si no tengo nada que repatir a un pobre niño....no le puedo dar nada. entonces eso es cero.

Bien, para el último, debes saber trignometría, o al menos las identidades trignométricas, razones trigonométricas...y algunas fórmulas, aquí tenemos una indeterminación del tipo 0/0, pero sabemos que,

$\displaystyle\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

equis puede ser cualquier ángulo, puede ser (2x), (3x), (7/2x) el que sea, se sigue cumpliendo esa igualdad, entonces,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2x}{\cot(2x)}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2x}{\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2x\sin(2x)}{\cos(2x)}}=\frac{2(0)\sin(2(0))}{\cos(2(0))}=\frac{0}{1}=0$

claro, debemos saber que, $\sin(0)=0$ y que $\cos(0)=1$

y eso sería todo...espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas,

Héchale ganas y verás lo sencillo que es el tema...