Question

. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento y observa el edificio de enfrente, el cual
está a una distancia horizontal de 42 metros. La parte superior la observa con un ángulo de elevación
de 29 grados y la parte inferior la observa con un ángulo de depresión de 39 grados. Determine la
altura del edificio señalado.

Answer 1

La altura del edificio de enfrente es de 57.28 metros        

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Dado que una persona desde la ventana en lo alto de su apartamento observa la parte inferior del edificio de enfrente con un ángulo de depresión de 39° y la parte superior del mismo con un ángulo de elevación de 29°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual - que está por debajo del observador- a la parte inferior del edificio de enfrente-, con un ángulo de depresión de 39°, el lado DB que es una porción del edificio de enfrente y a la vez coincide con la altura de la ventana en donde se ubica la persona observadora, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo ,- de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos altura “x”-;  y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al edificio de enfrente y también la distancia horizontal hasta éste, en donde este otro cateto- es en este caso el adyacente-, del cual conocemos su valor

El triángulo ACD en donde el lado AC representa la línea visual - que está por encima del observador- a la parte superior del edificio de enfrente-, con un ángulo de elevación de 29°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del edificio de enfrente -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos altura "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia horizontal hasta el edificio de enfrente

Donde se pide determinar la altura "h" del edificio de enfrente

Donde halladas las dos alturas “x” e “y” - donde ambas longitudes son los catetos opuestos de cada uno de los triángulos rectángulos-

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del edificio

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las alturas "x" e "y"

Trabajamos en el triángulo ABD

Hallamos la altura x – una porción de altura del edificio-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 39° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 39^o }$

$\boxed{\bold { tan(39^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(39^o) = \frac{ altura \ x }{distancia \ al \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =distancia \ al \ edificio \ . \ tan(39^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =42\ metros \ . \ tan(39^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =42\ metros \ . \ 0.809784033195 } }$

$\boxed{\bold { altura\ x =34.01\ metros } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ x =34\ metros } }$

Luego la altura x es de 34 metros, siendo una parte de la altura del edificio de enfrente

Trabajamos en el triángulo ACD

Hallamos la altura y – segunda porción de altura del edificio-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 29^o }$

$\boxed{\bold { tan(29^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(29^o)= \frac{ altura \ y }{ distancia \ al \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =distancia \ al \ edificio \ . \ tan(29^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =42\ metros \ . \ tan(29^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =42\ metros \ . \ 0.554309051453 } }$

$\boxed{\bold { altura\ y =23.2809\ metros } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ y =23.28 \ metros } }$

Por tanto la altura y es de 23.28 metros, siendo la otra parte de la altura del edificio de enfrente

Hallamos la altura h del edificio de enfrente

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = altura \ x\ +\ altura \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h)= 34 \ m +\ 23.28 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h)= 57.28\ metros } }$

La altura del edificio de enfrente es de 57.28 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto