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Respuesta:
INTEGRALES DE L´INEA.
15. Calcular las siguientes integrales:
(a) Z
C
(x + y) ds donde σ es el borde del tri´angulo con v´ertices (0, 0), (1, 0), (0, 1).
(b) Z
C
p
x
2 + y
2 ds donde σ es la circunferencia x
2 + y
2 = ax (a > 0).
Soluci´on
(a) El tri´angulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la
siguiente forma:
C1 :
n x = t
y = 0 (0 ≤ t ≤ 1);
C2 :
n x = 1 − t
y = t
(0 ≤ t ≤ 1);
C3 :
n x = 0
y = 1 − t
(0 ≤ t ≤ 1).
Calculamos en cada tramo el m´odulo del vector velocidad:
σ1(t) = (t, 0) =⇒ σ
0
1
(t) = (1, 0) =⇒ |σ
0
1
(t)| = 1;
σ2(t) = (1 − t, t) =⇒ σ
0
2
(t) = (−1, 1) =⇒ |σ
0
2
(t)| =
√
2;
σ3(t) = (0, 1 − t) =⇒ σ
0
3
(t) = (0, −1) =⇒ |σ
0
3
(t)| = 1.
Con estos datos, la integral de l´ınea se calcula como sigue:
Z
C
(x + y) ds =
Z
C1
(x + y) ds +
Z
C2
(x + y) ds +
Z
C3
(x + y) ds
=
Z 1
0
t dt +
Z 1
0
√
2 dt +
Z 1
0
(1 − t) dt =
√
2 + 1.
(b) Si escribimos la circunferencia x
2 + y
2 = ax de la forma (x − a/2)2 + y
2 = a
2/4, su
parametrizaci´on viene dada por
C :
n x = (a/2) + (a/2) cost
y = (a/2) sen t
(0 ≤ t ≤ 2π).
De este modo,
σ
0
(t) = (−a sen t/2, a cost/2) =⇒ |σ
0
(t)| = a/2.
Explicación paso a paso:
ya