Question

En un circo, se dispara una bala humana de un cañón con velocidad
de 35 Km / h con un ángulo de 40° con la vertical. Si la bala humana
abandona el cañón a un metro de distancia del suelo, y cae en una red
a dos metros sobre la superficie del suelo, ¿qué tiempo permanece en
el aire?

Answer 1

La bala humana permanece en el aire 1.06 segundos hasta caer en la red

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución:  

Convertimos la velocidad de kilómetros por hora a metros por segundo

Sabemos que en un kilómetro hay 1000 metros

Sabemos que en 1 hora hay 3600 segundos

$\boxed {\bold {35 \ \frac{ \not km}{\not h} \ . \left(\frac{ 1000 \ m }{1\not km} \right) \ . \ \left(\frac{ 1\not h }{ 3600 \ s} \right) = \frac{35000}{3600}\ \frac{m}{s} = 9.72 \ \frac{m}{s} }}$

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos las componentes horizontal y vertical para una $\bold { V_{0} = \ 9.72 \ \frac{m}{s} }$

Velocidad horizontal

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0x} = 9.72 \ \frac{m}{s} \ . \ cos \ 40^o }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0x} = 7.45\ \frac{m}{s} }}$

Velocidad vertical

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y  

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0y} = 9.72\ \frac{m}{s} \ . \ sen \ 40^o }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0y} = 6.25\ \frac{m}{s} }}$

Las velocidades horizontal y vertical del lanzamiento son respectivamente de 7.45 m/s y de 6.25 m/s

Determinamos el tiempo que se emplea para que la bala humana caiga en la red

Como en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la siguiente ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H+ {V_{0y} \ . \ t \ -\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\large \textsf{Tomamos como valor de gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Donde consideramos que la bala humana abandona el cañón desde una altura de 1 metro y que cae en una red ubicada a 2 metros sobre la superficie del suelo

Por tanto

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold { y =H+ {V_{0y} \ . \ t \ +\frac{g \ . \ t^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { 2 \ m = 1 \ m \ + 6.25 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\frac{10\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }{2} } }$

$\boxed {\bold { 2 \ m - 1 \ m \ = 6.25 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\frac{10\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }{2} } }$

$\boxed {\bold { 1 \ m \ = 6.25 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\frac{10\ \frac{m}{s^{2} } \ . \ t^{2} }{2} } }$

$\boxed {\bold { 1\ m =6.25 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\ 5\ \frac{m}{s^{2} } . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { 6.25 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ -\ 5\ \frac{m}{s^{2} } . \ t^{2} - 1 \ m = 0 }}$

$\boxed {\bold { -5\ \frac{m}{s^{2} } . \ t^{2} +6.25 \ \frac{m}{s} \ . \ t \ - \ 1 \ m = 0 }}$

$\large\textsf{Se tiene una ecuaci\'on cuadr\'atica }$

$\large\boxed {\bold { -5\ t^{2}+6.25 \ t - \ 1 \ = 0 }}$

$\textsf{Empleamos la f\'ormula cuadr\'atica }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = ,-5 b = 6.25 y c = -1 }$

$\large\textsf{Para resolver para t}$    

$\boxed{ \bold{t = \frac{-6.25 \pm \sqrt{ 6.25^2 - 4\ . \ (-5 \ . \ -1) } }{2 \ . \ -5} }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-6.25 \pm \sqrt{ 39.0625 - 4\ . \ (5 ) } }{ -10} }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-6.25 \pm \sqrt{ 39.0625 - 20 } }{ -10} }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{-6.25 \pm \sqrt{ 19.0625 } }{ -10} }}$

$\boxed{ \bold{t = \frac{6.25 \pm \sqrt{ 19.0625 } }{10} }}$

$\large\textsf {La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\large\boxed{ \bold{ t= 1.06\ , \ 0.89 }}$

$\large\textsf {Al tener dos soluciones consideramos que t = 0.89 es el instante }\\\large\textsf {de tiempo del hombre bala cuando a\'un estaba ascendiendo }\\\large\textsf {Y el valor de t =1.06 es el instante de tiempo en que }\\\large\textsf {el hombre bala cae en la red }$

$\large\textsf {Se toma para t (tiempo) el instante en que la bala humana cae en la red }$

$\large\boxed{ \bold{ t= 1.06\ segundos }}$

Conociendo el valor del tiempo- el cual es el mismo para los dos movimientos en x y en y-  podemos ahora hallar a que distancia horizontal recorrió la bala humana para cuando cayó sobre la red

Hallamos la distancia horizontal recorrida por la bala humana

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial y la multiplicamos por el instante de tiempo hallado

$\large\boxed {\bold { distancia\ x =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { distancia\ x = 7.45\ \frac{m}{\not s}\ . \ 1.06 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { distancia\ x =7.90 \ metros }}$

Luego la bala humana recorrió horizontalmente 7.90 metros hasta el instante que cayó sobre la red