Question

2.- La media aritmética de 53 números impares consecutivos es 65. Hallar la media geométrica entre el menor y
el mayor de dichos números.
a)
13 3
b)
9 3

c) 39

d)
11 3

e) 26

Answer 1

Respuesta:

39

Alternativa: c

Explicación paso a paso:

Partiremos del primer número, colocando:  a₁

Los números impares consecutivos son de esta forma: 1 + 3 + 5 +7 +.......

Van sumando de 2 en 2, entonces van a tener como razón 2.

Entonces el segundo número será: a₁ + 2

El tercer número será: a₁ + 4

El Cuarto número será: a₁ + 6

Y así sucesivamente hasta llegar a la posición 53.

Ahora para calcular la posición 53 emplearemos la siguiente fórmula:

aₙ = a₁ + (n - 1)r

Donde:

a₁ = Primer número

n = Posición o término

r = razón

Sustituyendo en la fórmula tendremos la posición 53:

a₅₃ = a₁ + (53 - 1)(2)

a₅₃ = a₁ + (52)(2)

a₅₃ = a₁ + 104

Luego los 53 números impares consecutivos son:

a₁, (a₁ + 2), (a₁ + 4), (a₁ + 6), ............................, (a₁ + 104)

Ahora su media aritmética es 65.

$\frac{a{1}+a{1}+2+a{1}+4 +a{1}+6+.............+a{1}+104}{53}=65$

a₁ + a₁ + 2 + a₁ + 4 + a₁ + 6 + ............................+ a₁ + 104 = 65(53)

53a₁ + (2 + 4 + 6 + ................... + 104) = 65(53)

53a₁ + 2(1 + 2 + 3 + ................... + 52) = 65(53)  ...... (i)

Para calcular esta suma:  1 + 2 + 3 + ................... + 52

Empleamos la fórmula de la Suma de los "n" primeros números naturales:

S = n(n + 1)/2

De la suma: n = 52

S = (52)(52 + 1)/2

S = (52)(53)/2

Reemplazamos esto en (i):

53a₁ + 2(52)(53)/2 = 65(53)

Eliminamos "2":

53a₁ + (52)(53) = 65(53)

Sacamos factor común:

53(a₁ + 52) = 65(53)

a₁ + 52 = 65(53)/53

Eliminamos "53":

a₁ + 52 = 65

Entonces:  a₁ = 65 - 52    ⇒    a₁ = 13

Ahora:

El número menor es:  a₁ = 13

El número mayor es:  a₁ + 104 = 13 + 104   ⇒   a₁ + 104 = 117

Hallar la media geométrica del número mayor y menor:

√(13)(117)

√13×13×9

√13²×9

√13²×3²

√(13×3)²

Eliminamos la raíz cuadrada con el exponente y nos queda:

13×3 = 39

Espero haberte ayudado.  :))