Question

Alberto se sube a una palmera a coger cocos, y su novia Carolina lo tiene sostenido de una cuerda.  Que longitud tiene la cuerda que está sosteniendo Carolina.   ​

Answer 1

La longitud aproximada que tiene la cuerda que sostiene Carolina es de 11.17 metros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC donde el lado AB (c) equivale a la altura en donde se encuentra Alberto subido a la palmera, el lado BC (a) es la distancia a la que se encuentra Carolina desde donde sostiene la cuerda  hasta la base de la palmera. Y el lado AC (b) representa la longitud de la cuerda con la cual sostiene Carolina a Alberto, la cual es nuestra incógnita

Denotamos a los ángulos dados por enunciado A y C como α y γ respectivamente, y de los lados conocidos del triángulo llamaremos "a" a la distancia entre Carolina y la base de la palmera ,"c" a la altura donde se encuentra trepado Alberto y "b" a la longitud de la cuerda que lo sostiene

Dado que en el triángulo que figura la situación, conocemos dos de sus lados y sus respectivos ángulos opuestos, hallaremos el valor del ángulo faltante y determinaremos el lado desconocido aplicando el teorema del coseno

Hallamos el valor del del tercer ángulo B (β)

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 43^o+ 32^o+ \beta }}$

$\boxed {\bold {\beta = 180^o - 43^o- 32^o }}$

$\large\boxed {\bold {\beta = 105^o }}$

El valor del ángulo B (β) es de105°

Hallando la longitud de la cuerda

La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado AC (b)

Conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la longitud de la cuerda

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { b^{2} =( 8\ m)^{2} + (6 \ m)^{2} - 2 \ . \ 8 \ m \ . \ 6 \ m \ . \ cos(105^o) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 64 \ m^{2} + 36 \ m^{2} - 96 \ m^{2} \ . \ cos(105^o) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} =100 \ m^{2} - 96 \ m^{2} \ . \ -0.258819045102 }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 100\ m^{2} + 24.87 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {b^{2} =124.87 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ b ^{2} } = \sqrt{124.87 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {b = \sqrt{ 124.87 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { b \approx 11.1745\ m }}$

$\large\boxed {\bold { b \approx 11.17\ m}}$

La longitud aproximada que tiene la cuerda que sostiene Carolina es de 11.17 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y ángulos planteados