Question

como puedo encontrar el dominio y rango de esta función.
g(x)=$\frac{1}{x^{2}-x } }$

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

         Dominio y Rango de una función

Definimos al dominio como el conjunto de valores que toma la variable "x", para los cuales la función está definida

Y el Rango como el conjunto de todos los  valores que toma"f"

Veamos como calcular cada uno

$g(x)= \frac{1}{x^{2} -x}$

Sabemos que en una fracción, el denominador no puede ser 0 (ya que la división por cero no está definida)

Entonces podemos plantear lo siguiente:

$x^{2} -x\neq 0$

$x(x-1)\neq 0$

$x_{1} \neq 0$

$x_{2} -1\neq 0$

$x_{2} \neq 1$

Es decir que "x" no puede tomar al 0 y al 1, ya que si esto sucediera, tendríamos una división por cero

          Dom g(x) = {x ∈ R / x ≠ 0 , 1}

Calculemos el rango:

Sea y= f(x)  , entonces  

$y= \frac{1}{x^{2} -x}$

Despejamos "x"

$y(x^{2}-x)=1$

$yx^{2} -yx=1$  

$yx^{2} -yx-1=0$  

Como tenemos una especie de ecuación cuadrática, analicemos su discriminante:

Δ= (-y)² -4×y×(-1)

Δ= y² + 4y

Sabemos que:    y² + 4y ≥ 0

Resolviendo esta desigualdad, obtenemos que:

y ∈ (- ∞ , -4] U [0, ∞ )

Sin embago, sabemos que el 0 no está definido en la función, por lo tanto, descartando dicho valor, llegamos a que:

     Rango g(x)= (-∞ , -4] U (0 , ∞)

Saludoss