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Respuesta:
Un subconjunto B∈RB∈R se denomina conjunto de Borel, o boreliano, si pertenece a la σσ-álgebra B(R)B(R) engendrada por los abiertos de RR con la topología usual. Los borelianos son aquellos subconjuntos de la recta para los que es aplicable la noción de medida (de longitud).
Así explicado, resulta inusitado que pueda existir un subconjunto de RR que no pertenezca a la σσ-álgebra B(R)B(R) de los borelianos. Un conjunto no-de Borel sería un conjunto para el que no se puede aplicar la noción de longitud, que no significa que su longitud sea nula; sino algo mucho más grave.
No es en absoluto intuitivo que tales conjuntos puedan existir, de hecho es una de las grandes sorpresas que esperan a todo estudiante de matemáticas superiores, de modo que no encontrarás una respuesta intuitiva. Resulta que tales conjuntos existen. Se demuestra construyendo un conjunto que por su propia definición no puede pertenecer a la σσ-álgebra B(R)B(R) , y se hace haciendo uso del axioma de elección.
Podemos construir uno definiendo en [0,1]∈R[0,1]∈R una relación de equivalencia de la siguiente manera:
(∀x,y∈[0,1]):xRy⇔x−y∈Q(∀x,y∈[0,1]):xRy⇔x−y∈Q
Esta relación de equivalencia parte al intervalo [0,1][0,1] en clases de equivalencia disjuntas. Cada clase de equivalencia es numerable, pues puede ser expresada como sigue:
Ri={x+r:r∈Q}Ri={x+r:r∈Q}
Como consecuencia, dado que [0,1][0,1] no es numerable, deben existir una cantidad no numerable de tales clases de equivalencia.
El axioma de elección nos permite formar un conjunto tomando un elemento de cada una de dichas clases de equivalencia. Formamos así el conjunto
N={xi:i∈I,N∩Rj={xj}}N={xi:i∈I,N∩Rj={xj}}
Esto es: formamos el conjunto NN tomando un y solo un xixi de cada clase de equivalencia Ri:i∈I
Explicación paso a paso:
espero que te sirva saludos dame coronita