Question

Cual debe ser el valor de n para que n=3^13×21^n×11^4 , tenga 150 divisores que son múltiplos de 21?

Answer 1

La respuesta es n = 2. Hay que ver que pasa cuando n toma el valor de 2:

A = 3^13 * 21^n * 11^4
A = 3^13 * 21^2 * 11^4
A = 3^13 * 21 * 21 * 11^4
A = 3^14 * 7 * 21 * 11^4

Para que A tenga 150 divisores que sean multiplos de 21, entonces el 21 que nos quedo en A tiene que "multiplicarse" con 150 numeros diferentes dentro de A. Y la cantidad de numeros que podemos formar con A sin contar el 21 es precisamente la cantidad de divisores que tiene A / 21, es decir, 3^14 * 7 * 11^4.

Utilizando la formula de divisores para un numero, entonces nos queda que la cantidad de divisores es:

(14 + 1) (1 + 1) (4 + 1) = 15 * 2 * 5 = 150
Y de ahi sabemos que A es multiplo de 21 por otros 150 numeros.