Question

Formula del binomio de newton! Alguien lo puede resolver xfavor!

Answer 1

Lo primero que debes notar es la notación binomial, para un binomio elevado ala n-ésima potencia, es decir,

$(a+b)^{n}=\displaystyle\binom {n} {0}a^{n}+\binom {n} {1}a^{n-1}b+\binom {n} {2}a^{n-2}b^{2}+...+\binom {n} {n-1}ab^{n-1}+\\\\+\binom {n} {n}b^{n}$

y lanoteción del coeficiente binomial, la entendemos como,

$\displaystyle\binom {n} {k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

bien, entonces con éstas dos cosas vamos a desarrollar el polinomio. identificamos que a=2x, b=1 y n=6, entonces

$(2x+1)^{6}=\displaystyle\binom {6} {0}(2x)^{6}+\binom {6} {1}(2x)^{5}(1)^{1}+\binom {6} {2}(2x)^{4}(1)^{2}+\binom {6} {3}(2x)^{3}(1)^{3}\\\\+\binom {6} {4}(2x)^{2}(1)^{4}+\binom {6} {5}(2x)^{1}(1)^{5}+\binom {6} {6}(1)^{6} \\ \\ \\ ...=\binom {6} {1}64x^{6}+\binom {6} {1}32x^{5}+\binom {6} {2}16x^{4}+\binom {6} {3}8x^{3}+\binom {6} {4}4x^{2}\\ \\ \\ +\binom {6} {5}2x+\binom {6} {6}$

ahora solo fatlta desarrollar los binomios, los haré aparte para no mezclar mucho, además recuerda que 0!=1, entonces

$\displaystyle\binom{6}{0}=\frac{6!}{0!(6-0)!}=\frac{6!}{(1)(6)!}=1 \\ \\ \binom{6}{1}=\frac{6!}{1!(6-1)!}=\frac{6!}{(1)(5)!}=\frac{1\times2\times3\times4\times5\times6}{1\times2\times3\times4\times5}=6 \\ \\ \binom{6}{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6!}{(1\times2)(4)!}=\frac{1\times2\times3\times4\times5\times6}{2(1\times2\times3\times4)}=15 \\ \\ \binom{6}{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6!}{(1\times2\times3)(3)!}=\frac{1\times2\times3\times4\times5\times6}{1\times2\times3(1\times2\times3)}=20$

$\displaystyle\binom{6}{4}=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{6!}{(1\times2\times3\times4)(2)!}=\frac{1\times2\times3\times4\times5\times6}{1\times2\times3\times4(2)}=15\\\\\binom{6}{5}=\frac{6!}{5!(6-5)!}=\frac{6!}{1\times2\times3\times4\times5(1)!}=\frac{1\times2\times3\times4\times5\times6}{1\times2\times3\times4\times5}=6 \\ \\ \binom{6}{6}=\frac{6!}{6!(6-6)!}=\frac{6!}{6!(0)!}=\frac{1}{1}=1$

entonces reemplazando los valores que obtvuimos que además vale mecnionar son los núemro acorde al triángulo de Pascal, sería genialq ue lo aprendas a desarrollar te evita hacer siempre éste procedimiento...y es muy fácil aprenderselo...bien,

$...=(1)64x^{6}+(6)32x^{5}+(15)16x^{4}+(20)8x^{3}+(15)4x^{2}+(6)2x+(1) \\ \\ (2x+1)^{4}=64x^{6}+192x^{5}+240x^{4}+160x^{3}+60x^{2}+12x+1$

ahora vas a intentar hacer esl siguiente, es exactamente el mism o procedimiento...dale¡¡

Answer 2

esto es mas facil que lo que acaba de hacer el 
lo unico que tienes que hacer es interpretarlo con la formula 
$a^{6}+2ab+ b^{6}$
con eso puedes sacar eso

2x seria a
1 seria b
entonces $(2x)^{6}+2(2x+1)+(1 )^{2}$

y el resultado seria $64x^{2}+4x+1$

Y el segundo seria siguiendo los mismos pasos 

el resultado seria $y^{16}-6 y^{4}+9 ^{4}$

y eso es todo espero y te ayude