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Secuencias numéricas: las infinitas maneras de seguir adelante
Ya sea como simples juegos de entretenimiento o ejercicios en textos escolares, las secuencias numéricas permiten adentrarnos tímidamente en las profundidades de la aritmética. Algunas de ellas son fuente de intenso estudio en la matemática actual. Otras, más conocidas, se nos aparecen cotidianamente, pues son usadas, por ejemplo, en la industria del diseño.
Completar secuencias numéricas puede ser un pasatiempo divertido. Es por ello que problemas de este tipo suelen hallarse no solo en textos escolares, sino también en secciones de entretenimiento de diarios y revistas, así como en muchos sitios de internet (para confirmar esto, basta realizar una búsqueda con la frase “qué número sigue”).
fue incluido hace algunos años en el examen de admisión a un colegio de Hong Kong. Sorprendentemente, los adultos que quisieron resolverlo tuvieron –en promedio– un desempeño menos satisfactorio. La razón apuntaría a que, como los niños no tienen un conocimiento tan estructurado, se dieron una mayor libertad intelectual para lidiar con él, lo que les permitió resolverlo de la manera más sencilla que pueda imaginarse. De hecho, son precisamente los niños quienes suelen disfrutar más con este tipo de desafíos intelectuales. Para ellos, se trata de simples juegos, y difícilmente sospechan que en el intento de encontrar su solución se adentran tímidamente en las profundidades de la aritmética. (Si voltea el dibujo en 180 grados, la solución le será evidente. Por cierto, la sucesión 2, 10, 12, 16, 17, 18,19, … también tiene una regla curiosa: los números listados son aquellos que comienzan con la letra “d”, por lo que el siguiente es el 200.)
Siendo matemáticamente quisquillosos, debemos señalar que, en estricto rigor, todos estos acertijos están mal formulados. La razón de esto radica en que las reglas que se adecuan a los elementos de una secuencia nunca son únicas.
De hecho, si usted completa una secuencia de la manera que se le antoje, siempre es posible elucubrar una regla que se ajuste a su elección. Para clarificar un poco esto, consideremos la secuencia 1, 2, 4, 8, 16,… ¿Cuál número sigue? La tentación es obvia: 32. Sin embargo, podría perfectamente seguir el 31, el 2016, el 666 o el 24.500-03.
En efecto, para cada una de las secuencias así formadas existe una regla traducible en una fórmula polinomial de grado menor que la cantidad de datos (en este caso, menor que 5). Así nos lo indica una receta ideada por el célebre matemático franco-italiano del siglo XVIII Joseph-Louis Lagrange, comúnmente conocida como la “interpolación de Lagrange”. Por ejemplo, si usted completa la secuencia con un 31, esta receta nos entrega el polinomio
La comprobación es una mera cuestión de cálculo
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Para una cantidad de vértices igual a 1, 2, 3, 4 y 5, el número de regiones es, respectivamente, 1, 2, 4, 8 y 16. Sin embargo, al escoger 6 vértices, la cantidad máxima de regiones es… ¡31! De hecho, la complicada fórmula polinomial dada más arriba corresponde exactamente al número máximo de regiones que aparecen al escoger una cantidad n de vértices y dibujar los trazos correspondientes (aunque esto está lejos de ser evidente; es más, su prueba es bastante elaborada).
Al mes de agosto de 2015, este contenía nada menos que 260 mil secuencias, cada una con el nombre de su descubridor y una breve reseña de sus propiedades y la justificación de su relevancia. Algunas de ellas son aún fuente de intenso estudio, y están lejos de ser completamente entendidas. A modo de ilustración, me referiré brevemente solo a la más famosa, indexada como la OEIS A000045. Esta empieza con los números
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
y su regla de formación es muy sencilla: comenzando con dos cifras iguales a 1, a partir del tercer término, cada elemento es igual a la suma de los dos anteriores. Por ejemplo:
2 = 1+1, 3 = 2+1, 5 = 3+2, 8 = 5+3, 13 = 8+5, …
Aunque esta secuencia aparece en textos hindúes que datan del siglo II a.C., su descubrimiento es generalmente datado en el siglo XI d.C. y atribuido al italiano Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo: Fibonacci. El interés de este matemático por esta secuencia se originó de un modelo sencillo que buscaba entender el crecimiento de una población de conejos, aunque se aplica de manera más nítida al estudio de los árboles genealógicos de las abejas.
En efecto, como los machos (zánganos) no tienen padre y las hembras tienen padre y madre, dicho árbol es bastante peculiar: si observa con atención, notará que el número de ascendientes en cada generación corresponde a un término entre 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
Es más, dicha revista surgió al alero de una organización mundial, la Fibonacci Association, que por estos días celebra, en Caen (Francia), nada menos que el Décimo-Séptimo Congreso Internacional sobre Números de Fibonacci y sus Aplicaciones:
Explicación paso a paso:
Espero te ayude