Question

5.- Una escalera de 13m de longitud está apoyada sobre la pared. La distancia que hay desde el

pie de la escalera hasta la pared, es de 5m ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera

en la pared?​

Answer 1

La parte superior de la escalera se apoya sobre la pared a una altura de 12 metros

Una escalera de 13 metros de longitud se apoya contra una pared de manera tal que el pie de la escalera se encuentra a 5 metros de distancia de la pared.

Se pide determinar a que altura se apoya la parte superior de la escalera

Este problema se resuelve empleando el Teorema de Pitágoras

¿De qué se trata del teorema de Pitágoras?  

El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos hallar el valor del tercero.

Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.  Por lo tanto los dos ángulos restantes son agudos.

En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.    

El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

$\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} \ + \ cateto \ 2^{2} }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

Solución

El ángulo que forma la altura de la pared con el suelo es un ángulo recto, con lo que tenemos un triángulo rectángulo.

Donde la distancia a la que se encuentra el pie de la escalera hasta la pared forma un cateto, el otro cateto lo conforma la altura de la pared y donde la longitud de la escalera es la hipotenusa del triángulo rectángulo

Empleamos la notación habitual en los triángulos rectángulos donde a y b son los catetos y c la hipotenusa

Conocemos la distancia del pie de la escalera a la pared (cateto 2 = b)  y la longitud de la escalera (hipotenusa = c)

Debemos hallar a que altura se apoya la parte superior de la escalera de acuerdo a los datos dados

Hallamos a que altura se apoya la parte superior de la escalera aplicando teorema de Pitágoras

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} \ + \ b^{2} }}$

$\large\boxed {\bold { a^{2} = c^{2} \ - \ b^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = (13\ m )^{2} \ - \ (5 \ m)^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 169 \ m^{2} \ - \ 25 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 144 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ a^{2} } = \sqrt{144 \ m ^{2} } }}$

$\boxed {\bold { a = \sqrt{144 \ m^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { a = 12 \ metros }}$

La parte superior de la escalera se apoya sobre la pared a una altura de 12 metros