Question

Que recta pasa por el punto (3,1) y es perpendicular a la recta 3x+y=0?

Answer 1

La recta perpendicular a la dada y que pasa por el punto A (3,1) está  dada por:

$\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{3}\ x }}$

Solución

Pendiente de una recta y ordenada al origen

A la ecuación de una recta en su forma pendiente ordenada al origen, también se la llama ecuación en la forma pendiente intercepción, forma principal o forma explícita

Sea la recta

$\large\boxed {\bold { 3x +y = 0 }}$

Reescribimos en la forma de la ecuación pendiente ordenada al origen también llamada pendiente intercepción

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

El coeficiente que acompaña a la x es la pendiente de la recta.

A la cual se la denota como m

Al término independiente b, se lo llama ordenada en el origen de una recta.

Por tanto

Para la recta

$\large\boxed {\bold { y = -3x }}$

Hallamos los valores de la pendiente m y de b la intersección en Y por medio de la forma de la ecuación pendiente ordenada al origen también llamada forma principal  $\bold { y = mx + b}$

Siendo

La pendiente de la recta

Donde denotamos a la pendiente de la recta dada como $\bold { m }$

$\large\boxed {\bold { m =-3 }}$

Y b que es la intersección con el eje Y es la ordenada al origen

$\large\boxed {\bold { b =0 }}$

Como b = 0 significa que la recta pasa por el origen de coordenadas

Determinamos la pendiente de una recta perpendicular

Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular $\bold { m_{1} }$

La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo

En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original $\bold { m }$

$\large\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{ m } }}$

$\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{ -3 } }}$

$\large\boxed{\bold {m_{1} = \frac{1}{3} }}$

La pendiente de una recta perpendicular a la dada es 1/3

Hallamos la recta perpendicular a la dada que pase por el punto A (3,1)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitada

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{1}{3} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { (3,1) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (1) = \frac{1}{3} \ (x - (3) )}}$

$\boxed {\bold { y - 1 = \frac{1}{3} \ (x - 3 )}}$

Resolvemos para y

$\large\textsf{Reescribimos en la forma pendiente punto de intercepci\'on }$

Dado que la ecuación explícita de la recta responde a la forma

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

$\boxed {\bold { y - 1 = \frac{1}{3} \ (x - 3 )}}$

$\boxed {\bold { y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{3}{3} }}$

$\boxed {\bold { y - 1 = \frac{x}{3} - 1}}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} - 1 +1}}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} }}$

$\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{3}\ x }}$

Habiendo hallado la recta perpendicular a la dada y que pasa por el punto A (3,1)        

Nótese que para esta recta el coeficiente b que es la intersección con el eje Y es igual a cero. b = 0. Por tanto la recta pasa por el origen de coordenadas

Siendo las dos rectas perpendiculares  

Se adjunta gráfico