Question

en cada item se define una ecuación cuadratica. muestra que esta es la ecuación de una parábola, precisa su centro, el eje con el foco y traza su gráfica ​

Answer 1

Analizando la ecuación de la parábola, tenemos que:

1. El ítem a) es un parábola porque una variable es lineal y la otra es cuadrática.
2. El centro de la parábola a) se ubica en el vértice V(2,15/8).
3. El eje del foco es paralelo al eje x.
4. Adjunto la gráfica.

Explicación paso a paso:

Analizaremos la siguiente parábola:

x = (x,y) ∈ R² tal que 4x - y² + y - 31/4 = 0

Lo que haremos a continuación será llevar la ecuación de la parábola a su forma canónica, entonces:

4x - y² + y - 31/4 = 0

Agrupamos variables:

(- y² + y) + 4x - 31/4 = 0

Completamos cuadrado y tenemos que:

(- y² + y) =  - (y² - y) = - [(y - 1/2)² - 1/4] = -(y-1/2)² + 1/4

Reemplazamos y reordenamos:

-(y-1/2)² + 1/4 + 4x - 31/4 = 0

-(y-1/2)² + 4x - 15/2 = 0

(y-1/2)² = 4x - 15/2

(y-1/2)² = 4·(x - 15/8) ⇒ ecuación canónica

De aquí podemos concluir que:

1) El centro, que es el vértice, viene siendo V(2, 15/8)

2) El eje focal es paralelo al eje x porque el término cuadrado es la variable y.

3) Adjunto vemos la gráfica.

Dejamos que el estudiante haga el mismo análisis con el ítem b)